Question

3．如圖，在同一直角坐標系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將x軸所在的直線繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)α度角后的圖形．若它與反比例函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象分別交于第一、三象限的點B、D，已知點A（-m，0）、C（m，0）．
（1）直接判斷并填寫：不論α取何值，四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；
（2）①當點B為（p，1）時，四邊形ABCD是矩形，試求p和m有值；
②觀察猜想：對①中的m值，直接寫出能使四邊形ABCD為矩形的點B坐標．
（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于反比例函數(shù)的圖象是一個中心對稱圖形，點B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，所以點B與點D關(guān)于點O成中心對稱，則OB=OD，又OA=OC，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得出四邊形ABCD的形狀；
（2）①把點B（p，1）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，即可求出p的值；過B作BE⊥x軸于E，在Rt△BOE中，根據(jù)正切函數(shù)的定義求出tanα的值，得出α的度數(shù)；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的長度，然后根據(jù)進行的對角線相等得出OA=OB=OC=OD，從而求出m的值；
②當m=2時，設(shè)B（x，$\frac{\sqrt{3}}{x}$），則x＞0，由OB=2，得出x²+$\frac{3}{{x}^{2}}$=4，進而得出答案；
（3）假設(shè)四邊形ABCD為菱形，根據(jù)菱形的對角線垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，又AC在x軸上，所以BD應在y軸上，這與“點B、D分別在第一、三象限”矛盾，所以四邊形ABCD不可能為菱形．

解答 解：（1）∵點B與點D關(guān)于點O成中心對稱，則OB=OD，又OA=OC，
∴四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；

（2）①∵點B（p，1）在y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象上，
∴1=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，
∴p=$\sqrt{3}$，
∴BO=2，
又∵點B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點，
∴點B、D關(guān)于原點O成中心對稱，
∴OB=OD=2，
∵四邊形ABCD為矩形，且A（-m，0），C（m，0），
∴AO=BO=CO=DO=2，
∴m=2；

②當m=2時，設(shè)B（x，$\frac{\sqrt{3}}{x}$），則x＞0，由OB=2，
得出x²+$\frac{3}{{x}^{2}}$=4，
解方程得：x=±1或±$\sqrt{3}$（負數(shù)舍去），
故能使四邊形ABCD為矩形的點B共有2個分別為：（1，$\sqrt{3}$）、（$\sqrt{3}$、1）；

（3）四邊形ABCD不能是菱形．
法一：∵點A、C的坐標分別為（-m，0）、（m，0），
∴四邊形ABCD的對角線AC在x軸上．
又∵點B、D分別是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在第一、三象限的交點．
∴對角線AC與BD不可能垂直．
∴四邊形ABCD不能是菱形；

法二：若四邊形ABCD為菱形，則對角線AC⊥BD，且AC與BD互相平分，
因為點A、C的坐標分別為（-m，0）、（m，0）
所以點A、C關(guān)于原點O對稱，且AC在x軸上．
所以BD應在y軸上，這與“點B、D分別在第一、三象限”矛盾，
所以四邊形ABCD不可能為菱形．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)綜合、平行四邊形的判定，矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義等知識，正確把握矩形、菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．