Question

【題目】如圖,點E是正方形ABCD對角線AC上一點,EF⊥AB,EG⊥BC,垂足分別為E,F,若正方形ABCD的周長是40 cm.

(1)求證:四邊形BFEG是矩形;

(2)求四邊形EFBG的周長;

(3)當AF的長為多少時,四邊形BFEG是正方形?

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20cm（3）當AF=5 cm時,四邊形BFEG是正方形.　

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)可得出AB⊥BC、∠B=90°，根據(jù)EF⊥AB、EG⊥BC利用“垂直于同一條直線的兩直線互相平行”，即可得出EF∥GB、EG∥BF，再結(jié)合∠B=90°，即可證出四邊形BFEG是矩形；

（2）由正方形的周長可求出正方形的邊長，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出△AEF為等腰直角三角形，進而可得出AF=EF，再根據(jù)矩形的周長公式即可求出結(jié)論；

（3）由正方形的判定可知：若要四邊形BFEG是正方形，只需EF=BF，結(jié)合AF=EF、AB=10cm，即可得出結(jié)論．

(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB⊥BC,∠B=90°.

∵EF⊥AB，EG⊥BC，

∴EF∥GB,EG∥BF.

∵∠B=90°，

∴四邊形BFEG是矩形；

(2)∵正方形ABCD的周長是40cm，

∴AB==10cm.

∵四邊形ABCD為正方形，

∴△AEF為等腰直角三角形，

∴AF=EF，

∴四邊形EFBG的周長C=2(EF+BF)=2(AF+BF)=20cm.

(3)若要四邊形BFEG是正方形，只需EF=BF，

∵AF=EF，AB=10cm，

∴當AF=5cm時，四邊形BFEG是正方形.