Question

如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連接BE、DE．
（1）求證：△BDE是等腰三角形．
（2）當(dāng)∠BCD=

 

°時(shí)，△BDE是等腰直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線,等腰三角形的判定,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=DE=

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AC，再根據(jù)等腰三角形的定義判定即可；
（2）根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CBE=∠ACB，∠DCE=∠CDE，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可．

解答：（1）證明：∵∠ABC=∠ADC=90°，E是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，
∴BE=DE=CE=

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2

AC，
∴△BDE是等腰三角形；

（2）解：∵BE=CE=DE，
∴∠CBE=∠ACB，∠DCE=∠CDE，
由三角形的外加性質(zhì)得，∠AEB=∠ACB+∠CBE=2∠ACB，
∠AED=∠CDE+∠DCE=2∠DCE，
∴∠BED=∠AEB+∠AED=2（∠ACB+∠DCE）=2∠BCD，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴∠BED=90°，
∴2∠BCD=90°，
∴∠BCD=45°．
故答案為：45．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．