Question

6．如圖，拋物線y₁=a（x+2）²+m過原點，與拋物線y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+n交于點A（1，3），過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C．下列結(jié)論：①兩條拋物線的對稱軸距離為5；②x=0時，y₂=5；③當x＞3時，y₁-y₂＞0；④y軸是線段BC的中垂線．正確結(jié)論是①③④（填寫正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

分析 把點A坐標與原點坐標代入y₁，求出a、m的值，即可得到函數(shù)解析式，把點A坐標代入y₂，求出n的值，即可得到函數(shù)解析式，再判定①；令x=0，求出y₂與y軸的交點，判定②；令y=3，求出A、B、C的橫坐標，然后求出AB、AC的長，判定④．

解答 解：∵拋物線y₁=a（x+2）²+m與拋物線y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+n的對稱軸分別為x=-2，x=3，
∴兩條拋物線的對稱軸距離為5，故①正確；
∵y₁=a（x+2）²+m經(jīng)過點A（1，3）與原點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+m=3}\\{4a+m=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{5}}\\{m=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
∴y₁=$\frac{3}{5}$（x+2）²-$\frac{12}{5}$，
∵y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+n經(jīng)過點A（1，3），
∴$\frac{1}{2}$（1-3）²+n=3，
解得n=1，
∴y₂=$\frac{1}{2}$（x-3）²+1，
當x=0時，y=$\frac{1}{2}$（0-3）²+1=5.5，故②錯誤；
由圖象得，當x＞1時，y₁＞y₂，故③正確；
∵過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C，
∴令y=3，則$\frac{3}{5}$（x+2）²-$\frac{12}{5}$=3，
整理得，（x+2）²=9，
解得x₁=-5，x₂=1，
∴AB=1-（-5）=6，
∴A（1，3），B（-5，3）；
令y=3，則$\frac{1}{2}$（x-3）²+1=3，
整理得，（x-3）²=4，
解得x₁=5，x₂=1，
∴C（5，3），
∴AC=5-1=4，
∴BC=10，
∴y軸是線段BC的中垂線，故④正確．
故答案為①③④．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量的值．