Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，24 ），經(jīng)過原點(diǎn)的直線l₁與經(jīng)過點(diǎn)A的直線l₂相交于點(diǎn)B，點(diǎn)B坐標(biāo)為（18，6）．
（1）求直線l₁，l₂的表達(dá)式．
（2）點(diǎn)C為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)O，B重合），CD∥y軸交直線l₂于點(diǎn)D，CE∥l₂交y軸于點(diǎn)E．
①若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，求四邊形AECD的面積S與m的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)S最大時(shí)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分別設(shè)出直線l₁，l₂的表達(dá)式，由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出結(jié)論；
（2）①根據(jù)直線l₁的解析式可找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)直線l₂的表達(dá)式可找出點(diǎn)D的坐標(biāo)，結(jié)合CD∥y軸，CE∥l₂可得出四邊形AECD為平行四邊形，再由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)利用平行四邊形的面積公式即可得出結(jié)論；
②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出S取最值時(shí)m的值，由此即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線l₁的表達(dá)式為y=k₁x，
將點(diǎn)B（18，6）代入y=k₁x中得：18k₁=6，
解得：k₁=$\frac{1}{3}$，
∴直線l₁的表達(dá)式為y=$\frac{1}{3}$x．
設(shè)直線l₂的表達(dá)式為y=k₂x+b，
將點(diǎn)A（0，24），B（18，6）代入y=k₂x+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{24=b}\\{6=18{k}_{2}+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-1}\\{b=24}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的表達(dá)式為y=-x+24．
（2）①將x=m代入y=$\frac{1}{3}$x得：y=$\frac{1}{3}$m，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{3}$m）（0＜m＜18）．
∵CD∥y軸，
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為m，
將x=m代入y=-x+24中得：y=-m+24，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-m+24），
∴CD=（-m+24）-$\frac{1}{3}$m=-$\frac{4}{3}$m+24．
∵CD∥y軸，CE∥l₂，
∴四邊形AECD為平行四邊形．
∵C（m，$\frac{1}{3}$m），
∴CD邊上的高為m，
∴S=（-$\frac{4}{3}$m+24）m=-$\frac{4}{3}$m²+24m（0＜m＜18）．
②由S=-$\frac{4}{3}$m²+24m得：-$\frac{2a}$=9，
∴當(dāng)m=9時(shí)，S最大，
此時(shí)$\frac{1}{3}$m=3．
∴當(dāng)S最大時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（9，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的判定以及平行四邊形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）①找出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出S取最值時(shí)m的值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．