Question

如圖，已知大半圓⊙O₁與小半圓⊙O₂相內(nèi)切于點(diǎn)B，大半圓的弦MN切小半圓于點(diǎn)D，若MN∥AB，當(dāng)MN=5時(shí)，則此圖中的陰影部分的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,垂徑定理

專題：計(jì)算題

分析：作O₁H⊥MN于H，連結(jié)O₂D，O₁N，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得O₂D⊥MN，而MN∥AB，可判斷四邊形O₁O₂DH為矩形，則O₂D=O₁H，再根據(jù)垂徑定理，由O₁H⊥MN得到MH=MH=

1

2

MN=

5

2

，在Rt△O₁NH中，利用勾股定理得到O₁N²-O₁H²=NH²=

25

4

，則O₁N²-O₂D²=

25

4

，然后根據(jù)圓的面積公式得到圖中的陰影部分的面積=

1

2

（πO₁N²-πO₂D²），再利用整體代入的方法計(jì)算即可．

解答：解：作O₁H⊥MN于H，連結(jié)O₂D，O₁N，如圖，
∵大半圓⊙O₁與小半圓⊙O₂相內(nèi)切于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)O₂在O₁B上，
∵大半圓的弦MN切小半圓于點(diǎn)D，
∴O₂D⊥MN，
而MN∥AB，
∴四邊形O₁O₂DH為矩形，
∴O₂D=O₁H，
∵O₁H⊥MN，
∴MH=MH=

1

2

MN=

5

2

，
在Rt△O₁NH中，O₁N²-O₁H²=NH²=

25

4

∴O₁N²-O₂D²=

25

4

∵圖中的陰影部分的面積=

1

2

（S_大半圓-S_小半圓）
=

1

2

（πO₁N²-πO₂D²）
=

1

2

π•（O₁N²-O₂D²）
=

1

2

π•

25

4

=

25

8

π．
故答案為

25

8

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了勾股定理、垂徑定理．