Question

6．如圖，拋物線y=ax²+bx-1（a≠0）的對稱軸是直線x=2，最低點D的縱坐標為-3，A，B為拋物線上的兩點，且直線AB∥x軸．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：△ABD是等腰直角三角形；
（3）直線AB繞點A逆時針方向旋轉45°，與x軸交于點C．
①求直線AC的解析式；
②若P是線段BD上的動點，Q是線段OC上的動點，試判斷在點P和點Q的移動過程中，△PAQ的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的頂點坐標，設出頂點式展開和一般式比較求得a、b即可；
（2）利用二次函數(shù)的對稱性得出AD=DB，利用勾股定理得出AD，DB，AB進一步判定三角形的形狀即可；
（3）①得出△OAC是等腰直角三角形，求得點C坐標，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
②利用對稱性得出點A關于x軸與BD的對稱點，利用勾股定理和對稱的性質求得最小值即可．

解答 解：（1）∵拋物線的頂點坐標為（2，-3），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）²-3，
即y=ax²-4ax+4a-3，
∵拋物線y=ax²+bx-1，
∴b=-4a，4a-3=-1，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=-2，
∴拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-2x-1；
（2）由題意可知DA=DB，
∵點D坐標為（2，-3），
∴AB=4，AD=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DB=2$\sqrt{2}$，
∴△ABD是等腰直角三角形．
（3）①∵點A坐標為（0，-1），△OAC是等腰直角三角形，
∴OC=OA=1，
∴點C坐標為（1，0），
∴直線AC的解析式為y=x-1．
②存在最小值為2$\sqrt{13}$．
如圖，

作點A關于x軸的對稱點A′，作點A關于直線BD的對稱點A″，
連接A′A″交BD于點P，交OC于點Q，連接AP，AQ，此時的△PAQ為符合題意的周長最小的三角形．
∵A、A′關于x軸對稱，
∴點A′的坐標為（0，1），
∵A、A″關于x軸對稱，△ABD是等腰直角三角形，
∴△A″DB是等腰直角三角形，
∴△A″AB是等腰直角三角形，
∴點A″的坐標為（4，-5），
過點A″作A″E⊥y軸于點E，
∴A′E=6，
在直角△A′A″E中，
A′A″=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴點P和點Q的移動過程中，△PAQ的周長存在最小值，最小值為2$\sqrt{13}$．

點評 此題考查二次函數(shù)綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質，勾股定理以及利用對稱性求最值是解決問題的關鍵．