Question

如圖，以等腰△ABC中的腰AB為直徑作⊙O，交底邊BC于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．
（I）求證：DE為⊙O的切線；
（II）若⊙O的半徑為5，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接圓心和切點(diǎn)，只要證得∠ODB=90°即可．
（2）應(yīng)得到DE所在的三角形的一條線段的長(zhǎng)和一個(gè)角的度數(shù)，利用三角函數(shù)求解即可．

解答：（I）證明：連接AD，連接OD；
∵AB是直徑，
∴AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
∴D是BC的中點(diǎn)．
∴OD∥AC，DE⊥AC．
∴OD⊥DE．
∴DE為⊙O的切線．

（II）解：∵在等腰△ABC中，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．
∵⊙O的半徑為5，
∴AB=BC=10，CD=

1

2

BC=5．
∴DE=CD•sin60°=

5 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：連接圓心和切點(diǎn)，做直徑所對(duì)的圓周角是常用的輔助線方法；需注意利用直角三角形的三角函數(shù)來(lái)進(jìn)行求解．