Question

【題目】已知CD是經(jīng)過(guò)∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠．

(1)若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面問(wèn)題：

①如圖1若∠BCA=90°，∠=90°、探索三條線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.

②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°， 請(qǐng)?zhí)砑右粋�(gè)關(guān)于∠與∠BCA關(guān)系的條件___ ____使①中的結(jié)論仍然成立；

(2)如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠=∠BCA，請(qǐng)寫(xiě)出三條線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）①EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系： (相關(guān)等式均可，證明詳見(jiàn)解析； ②∠與∠BCA關(guān)系：∠ +∠BCA=180°（或互補(bǔ)，相關(guān)等式均可）；（2）EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系： (相關(guān)等式均可) ，證明詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.

②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.

（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

試題解析：（1）①如圖1中，.

.

E點(diǎn)在F點(diǎn)的左側(cè)，.

∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，.

∴∠BEC=∠AFC=90°，.

∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，.

∴∠CBE=∠ACF，.

在△BCE和△CAF中，.

，.

∴△BCE≌△CAF（AAS），.

∴BE=CF，CE=AF，.

∴EF=CF-CE=BE-AF，.

當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF=AF-BE，.

∴EF=|BE-AF|；

②∠α+∠ACB=180°時(shí)，①中兩個(gè)結(jié)論仍然成立；.

證明：如圖2中，.

.

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，.

∴∠CBE=∠ACF，.

在△BCE和△CAF中，.

，.

∴△BCE≌△CAF（AAS），.

∴BE=CF，CE=AF，.

∴EF=CF-CE=BE-AF，.

當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF=AF-BE，.

∴EF=|BE-AF|；

（2）EF=BE+AF．.

理由是：如圖3中，.

.

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，.

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，.

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，.

∴∠EBC=∠ACF，.

在△BEC和△CFA中，.

，.

∴△BEC≌△CFA（AAS），.

∴AF=CE，BE=CF，.

∵EF=CE+CF，.

∴EF=BE+AF．