【題目】如圖1,拋物線與直線l交于x軸上的一點(diǎn)A,和另一點(diǎn)

求拋物線的解析式;

點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)點(diǎn)PA,B兩點(diǎn)之間,但不包括A,B兩點(diǎn)于點(diǎn)M軸交AB于點(diǎn)N,求MN的最大值;

如圖2,將拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后,再作適當(dāng)平移得到拋物線,已知拋物線的頂點(diǎn)E在第一象限的拋物線上,且拋持線與拋物線交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D軸交拋物線于點(diǎn)F,過點(diǎn)E軸交拋物線于點(diǎn)G,是否存在這樣的拋物線,使得四邊形DFEG為菱形?若存在,請求E點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2;(3點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時,四邊形DFEG為菱形

【解析】

求直線lx軸交點(diǎn)A坐標(biāo)、B坐標(biāo),用待定系數(shù)法求拋物線的解析式.

延長PNx軸于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為m,由軸可得點(diǎn)NH橫坐標(biāo)也為m,即能用m表示PNNH、AH的長.由及對頂角可得發(fā)現(xiàn)在中,MNPN比值即為,故先在中求的值,再代入,即得到MNm的函數(shù)關(guān)系式,配方即求得MN最大值.

設(shè)點(diǎn),所以可設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為令兩拋物線解析式列得關(guān)于x的方程,解得兩拋物線的另一交點(diǎn)D即為拋物線的頂點(diǎn),故DG,且求得DF平行且等于GE,即四邊形DFEG首先一定是平行四邊形.由DFEG為菱形可得,故此時span>為等邊三角形.利用特殊三角函數(shù)值作為等量關(guān)系列方程,即求得e的值.

解:直線lx軸于點(diǎn)A,

,解得:,

點(diǎn)在直線l上,

,

拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B,

解得:,

拋物線的解析式為,

如圖1,延長PNx軸于點(diǎn)H

設(shè) ,

軸,

,

,,

,

中,,

,

于點(diǎn)M,

,

中,

的最大值為,

存在滿足條件的拋物線,使得四邊形DFEG為菱形,

如圖2,連接DE,過點(diǎn)E于點(diǎn)Q

,

拋物線頂點(diǎn)為 ,

設(shè)

拋物線頂點(diǎn)式為,

當(dāng),

解得:,

兩拋物線另一交點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn),

軸,軸,

,

四邊形DFEG是平行四邊形,

DFEG為菱形,則

由拋物線對稱性可得:,

是等邊三角形,

,

解得:舍去,

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時,四邊形DFEG為菱形.

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