Question

已知-1≤y≤1且2x+y=1，則4x²+16x+3y²的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值

專題：

分析：由2x+y=1，|y|≤1，得到y(tǒng)=1-2x，-1≤1-2x≤1，解得0≤x≤1，設(shè)W=4x²+16x+3y²，用x表示W(wǎng)得到W=14x²+4x+3，先求出對(duì)稱軸為直線x=-

4

2×16

=-

1

8

，由于a=14＞0得到拋物線開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，而0≤x≤1，所以當(dāng)x=0時(shí)W最小，然后把x=0代入W進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：設(shè)W=4x²+16x+3y²，
∵2x+y=1，|y|≤1，
∴y=1-2x，-1≤y≤1，
∴-1≤1-2x≤1，
∴0≤x≤1，
∴W=4x²+16x+3（1-2x）²
=16x²+4x+3，
對(duì)稱軸為直線x=-

4

2×16

=-

1

8

，
∵a=16＞0，
∴拋物線開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，
當(dāng)0≤x≤1，x=0時(shí)，W最小，
即W_最小值=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

，當(dāng)a＞0，拋物線開(kāi)口向上，y有最小值

4ac-b2

4a

，y隨x的增大而減��；當(dāng)a＜0，拋物線開(kāi)口向下，y有最大值

4ac-b2

4a

，y隨x的增大而增大．