Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，若CD⊥BD于D點(diǎn)，且BD交AC于E點(diǎn)，問當(dāng)BD滿足什么條件時，CD=

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BE？并證明你的判斷．

Answer 1

分析：延長BA和CD交于F，求出∠ABE=∠FCA，根據(jù)ASA證△ABE≌△ACF，求出BE=CF，證△FBD≌△CBD，推出CD=DF即可．

解答：解：當(dāng)BD是∠ABC的平分線時，CD=

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BE，
理由是：延長BA和CD交于F，
∵∠BAC=90°，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠FAC=90°=∠BDC，
∵∠AEB=∠DEC，
根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：∠ABE=∠FCA，
在△ABE和△ACF中

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF，
∴CF=BE，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠FDB=∠CDB，
在△FDB和△CDB中

∠FBD=∠CBD BD=BD ∠FDB=∠CDB

，
∴△FDB≌△CDB，
∴CD=DF=

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CF=

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2

BE，
即當(dāng)BD是∠ABC的平分線時，CD=

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BE．

點(diǎn)評：本題考查了對等腰直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作輔助線后構(gòu)造全等的三角形，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的閱讀問題和分析問題的能力，題型較好．