Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)F，交CB于點(diǎn)E，且∠EAB＝∠DCB．

（1）求∠B的度數(shù)：

（2）求證：BC＝3CE．

Answer 1

【答案】（1）∠B=30°；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ECF＝∠CAF，求得∠CAD＝2∠DCB，由CD是斜邊AB上的中線，得到CD＝BD，推出∠CAB＝2∠B，于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解：（1）∵AE⊥CD，

∴∠AFC＝∠ACB＝90°，

∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，

∴∠ECF＝∠CAF，

∵∠EAD＝∠DCB，

∴∠CAD＝2∠DCB，

∵CD是斜邊AB上的中線，

∴CD＝BD，

∴∠B＝∠DCB，

∴∠CAB＝2∠B，

∵∠B+∠CAB＝90°，

∴∠B＝30°；

（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，

∴AE＝BE，CE＝AE，

∴BC＝3CE．