Question

17．解下列方程
①x²-3x-1=0（配方法）
②$\frac{2}{7}$x²+x-$\frac{4}{7}$=0（因式分解法）
③-3x²+4x+5=0（公式法）
④$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=$\frac{5}{2}$（換元法）

Answer 1

分析 ①移項，配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
②去分母，分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
③先求出b²-4ac的值，再代入公式求出即可；
④設(shè)$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=y，則原方程化為y+$\frac{1}{y}$=$\frac{5}{2}$，求出方程的解，即可求出答案．

解答 解：①x²-3x-1=0，
x²-3x=1，
x²-3x+（$\frac{3}{2}$）²=1+（$\frac{3}{2}$）²，
（x-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{13}{4}$，
x-$\frac{3}{2}$=±$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
x₁=$\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{13}}{2}$；

②$\frac{2}{7}$x²+x-$\frac{4}{7}$=0，
2x²+7x-4=0，
（2x-1）（x+4）=0，
2x-1=0，x+4=0，
x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-4；

③-3x²+4x+5=0，
b²-4ac=4²-4×（-3）×5=76，
x=$\frac{-4±\sqrt{76}}{2×（-3）}$，
x₁=$\frac{2-\sqrt{19}}{3}$，x₂=$\frac{2+\sqrt{19}}{3}$；

④$\frac{x}{{x}^{2}+1}$+$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=$\frac{5}{2}$，
設(shè)$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=y，則原方程化為：y+$\frac{1}{y}$=$\frac{5}{2}$，
即2y²-5y+2=0，
解得：y₁=$\frac{1}{2}$，y₂=2，
當(dāng)y=$\frac{1}{2}$時，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{2}$，
解得：x₁=x₂=1，
當(dāng)y=2時，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=2，
x²-x=2=0，
此方程無解；
經(jīng)檢驗x₁=x₂=1是原方程的解，
所以原方程組的解為：x₁=x₂=1．

點評 本題考查了解一元二次方程和解分式方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉�二次方程是解①②③得關(guān)鍵，能正確換元是解④的關(guān)鍵．