先閱讀短文,再回答短文后面的問(wèn)題.
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn),點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).
下面根據(jù)拋物線(xiàn)的定義,我們來(lái)求拋物線(xiàn)的方程.
如上圖,建立直角坐標(biāo)系xoy,使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線(xiàn)l,垂足為K,并使原點(diǎn)與線(xiàn)段KF的中點(diǎn)重合.設(shè)|KF|=p(p>0),那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(
,0),準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x=-
.
設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn),點(diǎn)M到l的距離為d,由拋物線(xiàn)的定義,拋物線(xiàn)就是滿(mǎn)足|MF|=d的點(diǎn)M的軌跡.
∵|MF|=
,d=|x+
|∴
=|x+
|
將上式兩邊平方并化簡(jiǎn),得y
2=2px(p>0)①
方程①叫做拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,它表示的拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,坐標(biāo)是(
,0),它的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=-
.
一條拋物線(xiàn),由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同,方程也不同.所以?huà)佄锞(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它的幾種形式:y
2=-2px,x
2=2py,x
2=-2py.這四種拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線(xiàn)方程列表如下:
標(biāo)準(zhǔn)方程 |
交點(diǎn)坐標(biāo) |
準(zhǔn)線(xiàn)方程 |
y2=2px(p>0) |
(,0) |
x=- |
y2=-2px(p>0) |
(-,0) |
x= |
x2=2py(p>0) |
(0,) |
y=- |
x2=-2py(p>0) |
(0,-) |
y=- |
解答下列問(wèn)題:
(1)①已知拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是y
2=8x,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
,準(zhǔn)線(xiàn)方程是
②已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-6),則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是
.
(2)點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線(xiàn)l:x+5=0的距離小1,求點(diǎn)M的軌跡方程.
(3)直線(xiàn)
y=x+b經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y
2=4x的焦點(diǎn),與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)A、B,求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).