Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求證：（1）△ABE∽△DCA；
（2）BC²=2BE•CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）易知∠B=∠C，只需再證明一對(duì)角相等即可．根據(jù)外角易證∠BAE=∠ADC．問題得證；
（2）根據(jù)勾股定理，BC²=2AB²，所以需證AB²=BE•CD．根據(jù)（1）易證．
解答：證明：（1）在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．                                （1分）
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°．                                     （1分）
而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，（1分）
∴∠BAE=∠CDA．                                           （1分）
∴△ABE∽△DCA．                                          （2分）

（2）由△ABE∽△DCA，得．                       （2分）
∴BE•CD=AB•AC．                                           （1分）
而AB=AC，BC²=AB²+AC²，
∴BC²=2AB²．                                               （2分）
∴BC²=2BE•CD．                                            （1分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，特別是與勾股定理聯(lián)系起來綜合性很強(qiáng)，難度較大．