Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)一模）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）連結(jié)OE，若cos∠BAD=

3

5

，BE=

14

3

，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OD，BD，利用切線的性質(zhì)得出∠ABC=∠2+∠4=90°，進(jìn)而得出∠ODE=∠1+∠3=90°，即可得出答案；
（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ABC∽△ADB，以及AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）證明：如圖1所示，連接OD，BD
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠BDC=90°．
在Rt△BDC中
∵E是BC的中點(diǎn)，∴DE=

1

2

BC；
∴DE=BE；∴∠1=∠2．
∵OD=OB，∴∠3=∠4；
∵∠ABC=∠2+∠4=90°
∴∠ODE=∠1+∠3=90°，
即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
            
（2）解：∵E是BC的中點(diǎn)，O是AB中點(diǎn)，
∴OE∥AC，
∴∠BAD=∠BOE，
∴cos∠BAD=∠BOE=

3

5

，
∵BE=

14

3

，
∴OE=

35

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ABC∽△ADB是解題關(guān)鍵．