Question

如圖，已知直線y=-

3

4

x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)上，△ABC是等腰直角三角形，且∠CBA=90°．
（1）求k的值；
（2）把等腰Rt△ABC沿AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=

k

x

(x＞0)的圖象上嗎？請計(jì)算說明．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）作CD⊥y軸于點(diǎn)D，則△OAB≌△DBC，據(jù)此即可求得C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）求得AC的解析式，然后求得直線AC與過B且與直線AC垂直的直線的解析式，得到兩直線的交點(diǎn)，從而求得B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入反比例函數(shù)的解析式進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

解答：解：（1）作CD⊥y軸于點(diǎn)D．
在y=-

3

4

x+3中，令x=0，解得：y=3，則B的坐標(biāo)是（0，3）；
令y=0，解得：x=4，則A的坐標(biāo)是（4，0），
則△OAB≌△DBC，
∴BD=OA=4，CD=OB=3，
則C的坐標(biāo)是（3，7），代入y=

k

x

，解得：k=21；
（2）設(shè)直線CA的解析式是y=kx+b，則

4k+b=0 3k+b=7

，
解得：

k=-7 b=28

，
則直線AC的解析式是：y=-7x+28．
設(shè)過B于直線AC垂直的直線的解析式是y=

1

7

x+c，則把（0，3）代入得：c=3，
則解析式是：y=

1

7

x+3，
解方程組：

y=-7x+28 y= 1 7 x+3

，解得：

x= 7 2 y= 7 2

，
則B關(guān)于直線CA的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是：（7，4），
（7，4）不在函數(shù)y=

21

x

的圖象上．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及圖象的交點(diǎn)的求法，正確求得B的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．