Question

16．已知正方形ABCD，AB=8，點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、D同時(shí)出發(fā)，以每秒1m的速度分別沿著線段AB、DC向點(diǎn)B、C方向的運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）求證：OE=OF．
（2）在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過程中，連結(jié)AF．設(shè)線段AE、OE、OF、AF所形成的圖形面積為S．
探究：①S的大小是否會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t的變化而變化？若會(huì)變化，試求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不會(huì)變化，請(qǐng)說明理由．
②連結(jié)EF，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t為何值時(shí)，△OEF的面積恰好等于的$\frac{1}{3}$S．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°，求出AE=DF=t，根據(jù)SAS推出△EAO≌△FDO即可；
（2）①延長(zhǎng)EO交DC于M，求出△AOE≌△COM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=CM=t，根據(jù)S=S_{四邊形AEMF}-S_△FOM求出即可；
②根據(jù)全等得出OE=OM，求出S_△EOF=$\frac{1}{2}$S_△EFM=16-4t，即可得出方程16-4t=$\frac{1}{3}$×16，求出即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°，
∵點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)A、D同時(shí)出發(fā)，以每秒1m的速度分別沿著線段AB、DC向點(diǎn)B、C方向的運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴AE=DF=t，
在△EAO和△FDO中
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠EAO=∠FDO}\\{AE=DF}\end{array}\right.$
∴△EAO≌△FDO（SAS），
∴OE=OF；

（2）解：①S的大小不會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t的變化而變化，
理由是：延長(zhǎng)EO交DC于M，
當(dāng)M在FC上時(shí)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OAE=∠MCO=45°，OA=OC，
在△AOE和△COM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠MCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COM}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△COM（ASA），
∴AE=CM=t，
∴S=S_{四邊形AEMF}-S_△FOM
=$\frac{1}{2}$（t+8-t-t）•8-$\frac{1}{2}$×（8-t-t）•4
=16，

當(dāng)M在FD上時(shí)，
S=_△AOE+S_△AOF
=S_△COM+S_△AOF
=$\frac{1}{2}$S_△AMC+$\frac{1}{2}$S_△AFC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×t×8+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$（8-t）×8=16；
所以S的大小不會(huì)隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t的變化而變化；

②∵△AOE≌△COM，
∴OE=OM，
∴S_△EOF=S_△FOM=$\frac{1}{2}$S_△EFM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（8-t-t）•8=16-4t，
∵△OEF的面積恰好等于的$\frac{1}{3}$S，
∴16-4t=$\frac{1}{3}$×16，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
根據(jù)對(duì)稱性可知，t=$\frac{16}{3}$s時(shí)，也滿足條件．
即當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t為$\frac{8}{3}$s或$\frac{16}{3}$s時(shí)，△OEF的面積恰好等于的$\frac{1}{3}$S．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．