Question

11．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交AD于F．

（1）求證：△AEF≌△BEC；
（2）判斷四邊形BCFD是何特殊四邊形，并說出理由；
（3）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，若BC=1，求AH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAD=60°借助中點(diǎn)和對(duì)頂角即可判斷出結(jié)論．
（2）根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，和（1）中的結(jié)論得出∠AFE=∠BCE=60°，進(jìn)而判斷出BD∥FC，即可得出結(jié)論；
（3）先由折疊和含30°的直角三角形的性質(zhì)得出AD=AB=2，再用勾股定理求出AC²，最后在Rt△ACH中，用勾股定理建立方程求出AH．

解答 解：（1）證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等邊△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE．
在△AEF和△BEC中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EBC=60°}\\{AE=BE}\\{∠AEF=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BEC；
（2）四邊形BCFD是平行四邊形，
理由：在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB，BE=$\frac{1}{2}$AB．
∴CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四邊形BCFD是平行四邊形；
（3）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，
∴∠CAH=90°．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2．
∴AD=AB=2．
設(shè)AH=x，則HC=HD=AD-AH=2-x，
在Rt△ABC中，AC²=2²-1²=3，
在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3=（2-x）²，
解得x=$\frac{1}{4}$，即AH=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵判斷出∠AFE=60°．