【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0),B兩點,與y軸交于點C(0,3),拋物線的頂點在直線x=1上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P為第一象限內拋物線上的一個動點,過點P做PQ∥y軸交BC與點Q,當點P在何位置時,線段PQ的長度有最大值?
(3)點M在x軸上,點N在拋物線對稱軸上,是否存在點M,點N,使以點M,N,C,B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)點P的坐標為(,);(3)存在,點M的坐標為(4,0)或(﹣2,0)或(2,0)
【解析】
(1)點A(﹣1,0),點C(0,3),頂點在直線x=1上,則c=3,點B(3,0),故拋物線的表達式為:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即可求解;
(2)設點P(t,﹣t2+2t+3),Q(t,﹣t+3).則PQ=﹣t2+3t,即可求解;
(3)分BC是平行四邊形的邊、BC是平行四邊形的對角線兩種情況,分別求解即可.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0),B兩點,頂點在直線x=1上,
∴點B(3,0),
∵拋物線與y軸交于點C(0,3),
∴c=3,
設拋物線的表達式為:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),
∴﹣3a=3,解得:a=﹣1,
∴拋物線的表達式為:y=﹣x2+2x+3;
(2)設直線BC的解析式為y=kx+b,
將點B、C的坐標代入得: ,
解得,
直線BC的解析式為y=﹣x+3,
設點P(t,﹣t2+2t+3),則Q(t,﹣t+3).
∴PQ=﹣t2+3t=,
∴當t=時,PQ長度的最大值為,
此時﹣t2+2t+3=,
∴點P的坐標為(,);
(3)設點M(m,0)、點N(1,n),點C(0,3)、點B(3,0),
①當BC是平行四邊形的邊時,
點C向右平移3個單位向下平移3個單位得到B,
同理點C(B)向右平移3個單位向下平移3個單位得到B(C),
即1+3=m或1﹣3=m,解得:m=4或﹣2;
②當BC是平行四邊形的對角線時,
由中點公式得:1+m=3,解得:m=2,
故點M的坐標為(4,0)或(﹣2,0)或(2,0).
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【題目】已知△ABC是等邊三角形,AD⊥BC于點D,點E是直線AD上的動點,將BE繞點B順時針方向旋轉60°得到BF,連接EF、CF、AF.
(1)如圖1,當點E在線段AD上時,猜想∠AFC和∠FAC的數(shù)量關系;(直接寫出結果)
(2)如圖2,當點E在線段AD的延長線上時,(1)中的結論還成立嗎?若成立,請證明你的結論,若不成立,請寫出你的結論,并證明你的結論;
(3)點E在直線AD上運動,當△ACF是等腰直角三角形時,請直接寫出∠EBC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術的廣泛應用,催生了快遞行業(yè)的高度發(fā)展,據(jù)調查,某家小型“大學生自主創(chuàng)業(yè)”的快遞公司,今年三月份與五月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件,現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同.
(1)求該快遞公司投遞總件數(shù)的月平均增長率;
(2)如果按此速度增漲,該公司六月份的快遞件數(shù)將達到多少萬件?
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【題目】李老師為了了解班級學生自主學習、合作交流的具體情況,對九(1)班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調查,并將調查結果分成四類,A:特別好;B:好;C;一般;D:較差,并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)本次調查中,李老師一共調查了 名同學,其中女生共有 名.
(2)將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)為了共同進步,李老師想從被調查的A類和D類學生中分別選取一位同學進行“一幫一”互助學習,請求所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率.
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【題目】如圖,曲線AB是頂點為B,與y軸交于點A的拋物線y=﹣x2+4x+2的一部分;曲線BC是雙曲線y=的一部分.由點C開始不斷重復“A﹣B﹣C”的過程,形成一組波浪線,點P(2018,m)與Q(2026,n)均在該拋物線上,則m+n=_____.
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【題目】將兩塊全等的直角三角形如圖1擺放在一起,設較短直角邊為1.現(xiàn)將Rt△BCD沿射線BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置(如圖2).
(1)求證:四邊形ABC1D1是平行四邊形;
(2)當四邊形ABC1D1為矩形時,求矩形ABC1D1的面積;
(3)當點B的移動距離為多少時,四邊形ABC1D1為菱形.
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【題目】如圖,天空中有一個靜止的廣告氣球C,從地面A點測得C點的仰角為45°,從地面B點測得C點的仰角為60°.已知AB=20m,點C和直線AB在同一鉛垂平面上,求氣球離地面的高度(結果保留根號).
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【題目】如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,BD是⊙O的直徑,AE⊥CD于點E,DA平分∠BDE
(Ⅰ)求證:AE是⊙O的切線;
(Ⅱ)若∠DBC=30°,DE=1 cm,求BD的長.
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【題目】如圖1,拋物線平移后過點A(8,,0)和原點,頂點為B,對稱軸與軸相交于點C,與原拋物線相交于點D.
(1)求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積;
(2)如圖2,直線AB與軸相交于點P,點M為線段OA上一動點,為直角,邊MN與AP相交于點N,設,試探求:
①為何值時為等腰三角形;
②為何值時線段PN的長度最小,最小長度是多少.
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