【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A4,0),B0,4),C6,6).

1)求拋物線的表達(dá)式;

2)證明:四邊形AOBC的兩條對(duì)角線互相垂直;

3)在四邊形AOBC的內(nèi)部能否截出面積最大的DEFG?(頂點(diǎn)DEFG分別在線段AO,OB,BCCA上,且不與四邊形AOBC的頂點(diǎn)重合)若能,求出DEFG的最大面積,并求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=x2x+4;(2)、證明過(guò)程見(jiàn)解析;(3)、最大值為12,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0

【解析】試題分析:(1)、根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A40),B0,4),C6,6),利用待定系數(shù)法,求出拋物線的表達(dá)式即可;(2)、利用兩點(diǎn)間的距離公式分別計(jì)算出OA=4,OB=4,CB=2,CA=2,則OA=OB,CA=CB,根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理得到OC垂直平分AB,所以四邊形AOBC的兩條對(duì)角線互相垂直;(3)、如圖2,利用兩點(diǎn)間的距離公式分別計(jì)算出AB=4,OC=6,設(shè)Dt,0),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)四邊形DEFG為平行四邊形得到EF∥DG,EF=DG,再由OC垂直平分AB得到△OBC△OAC關(guān)于OC對(duì)稱(chēng),則可判斷EFDG為對(duì)應(yīng)線段,所以四邊形DEFG為矩形,DG∥OC,則DE∥AB,于是可判斷△ODE∽△OAB,利用相似比得DE=t,接著證明△ADG∽△AOC,利用相似比得DG=4﹣t),所以矩形DEFG的面積=DEDG=t4﹣t=﹣3t2+12t,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求平行四邊形DEFG的面積的最大值,從而得到此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析:(1)、設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c, 根據(jù)題意得,解得,

拋物線的表達(dá)式為y=x2x+4

(2)、如圖1,連結(jié)AB、OC∵A4,0),B0,4),C66),

∴OA=4,OB=4,CB=2,CA=2,

∴OA=OBCA=CB, ∴OC垂直平分AB, 即四邊形AOBC的兩條對(duì)角線互相垂直;

(3)、能. 如圖2,AB=4OC=6,設(shè)Dt,0),

四邊形DEFG為平行四邊形, ∴EF∥DGEF=DG, ∵OC垂直平分AB

∴△OBC△OAC關(guān)于OC對(duì)稱(chēng), ∴EFDG為對(duì)應(yīng)線段, 四邊形DEFG為矩形,DG∥OC,

∴DE∥AB∴△ODE∽△OAB,=,即=,解得DE=t, ∵DG∥OC,

∴△ADG∽△AOC=,即=,解得DG=4﹣t),

矩形DEFG的面積=DEDG=t4﹣t=﹣3t2+12t=﹣3t﹣22+12,

當(dāng)t=2時(shí),平行四邊形DEFG的面積最大,最大值為12,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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分?jǐn)?shù)(分)

人數(shù)(人)

70

7

80

90

1

100

8


(1)在圖①中,“80分”所在扇形的圓心角度數(shù)為;
(2)請(qǐng)你將圖②補(bǔ)充完整;
(3)求乙校成績(jī)的平均分;
(4)經(jīng)計(jì)算知S2=135,S2=175,請(qǐng)你根據(jù)這兩個(gè)數(shù)據(jù),對(duì)甲、乙兩校成績(jī)作出合理評(píng)價(jià).

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A.36×103
B.0.36×106
C.0.36×104
D.3.6×104

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C.轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)3,出現(xiàn)的3個(gè)數(shù)之和等于19,這是一個(gè)不可能發(fā)生的事件

(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)36次時(shí),出現(xiàn)2這個(gè)數(shù)大約有多少次?

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