Question

若AD是△ABC角平分線，I是線段AD上的點(diǎn)，且∠BIC=90°+∠BAC．求證：I是△ABC的內(nèi)心．

Answer 1

解：作△ABC的外接圓⊙O，設(shè)AD的延長線交⊙O于M，BI的延長線交⊙O于E．
連ME、CE、CM，IC與ME交于點(diǎn)F．
則∠MEC=∠BAC=∠BEC，
因∠BIC=∠ICE+∠IEC，
=∠ICE+∠MEC+∠BAC，
=90°+∠BAC．
則∠ICE+∠MEC=90°，即IC⊥EF．
于是，有△IEF≌△CEF，
從而，IF=FC，即EM是IC的垂直平分線．
故MC=MI，于是，∠MCI=∠MIC．
又∠MCI=∠MAC+∠ACI，
則∠BCI=∠ACI．
即CI平分∠ACB．
因此，I是△ABC的內(nèi)心．
分析：作△ABC的外接圓⊙O，設(shè)AD的延長線交⊙O于M，BI的延長線交⊙O于E．連ME、CE、CM，IC與ME交于點(diǎn)F．可得IC⊥EF．△IEF≌△CEF，即EM是IC的垂直平分線．則∠BCI=∠ACI．因此，I是△ABC的內(nèi)心．
點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓和全等三角形的判定和性質(zhì)．