Question

12．如圖，拋物線y=x²-（2m+4）x+m²+4m交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）連接CD，BC，當(dāng)∠BCD=90°時(shí)，求拋物線解析式；
（3）連接AC，在（2）的前提下，在拋物線上是否存在點(diǎn)T，使得∠BCT+∠ACO=∠BAC？若存在，求出點(diǎn)T坐標(biāo)；若不存在，寫出理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A，B在x軸上，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)即可；
（2）點(diǎn)C，D的坐標(biāo)表示出來，用△MCD∽△OBC得到$\frac{OB}{CM}$=$\frac{OC}{MD}$，代入即可；
（3）先求出AN，再確定出直線CW的解析式為y=-$\frac{1}{7}$x-3，和拋物線y=x²-2x-3聯(lián)立方程組即可．

解答 解：（1）令y=0，
∴x²-（2m+4）x+m²+4m=0，
∴x₁=m，x₂=m+4，
∴A（m，0），B（m+4，0），
∴AB=4，
（2）如圖1，

過點(diǎn)D作DM⊥y軸，C（0，m²+4m），D（m+2，-4），
∵∠BCD=90°，∠BOC=90°，
∴∠MCD=∠OBC，∠MDC=∠OCB，
∴△MCD∽△OBC，
∴$\frac{OB}{CM}$=$\frac{OC}{MD}$，
∴$\frac{m+4}{{m}^{2}+4m+4}=\frac{-{m}^{2}-4m}{m+2}$，
∴m₁=m₂=-1，
∴y=x²-2x-3；
（3）存在；
如圖2

作∠CAN=∠ACO，
∴AN=CN，
∵∠BCT=∠ACO=∠BAC，
∴∠BCT=∠OAN，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
在Rt△AON中，OA=1，設(shè)ON=a，
∴AN=CN=3-a，
∴（3-a）²=1²+a²，
∴ON=a=$\frac{4}{3}$
假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)T，過點(diǎn)B作BW⊥BC，交CT的延長(zhǎng)線于W，過W作WH⊥x軸，
∴$\frac{BW}{BC}$=$\frac{ON}{OA}$=$\frac{4}{3}$，
∴BW=4$\sqrt{2}$，BH=HW=4，
∴W（7，-4），直線CW的解析式為y=-$\frac{1}{7}$x-3，
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=-\frac{1}{7}x-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{13}{7}}\\{{y}_{1}=\frac{160}{49}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$（舍），
∴T₁（$\frac{13}{7}$，$\frac{160}{49}$），
同理可得：T₂（-5，32）．
即：拋物線上是存在點(diǎn)T，使得∠BCT+∠ACO=∠BAC，點(diǎn)T₁（$\frac{13}{7}$，$\frac{160}{49}$），T₂（-5，32）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，確定圖象交點(diǎn)坐標(biāo)，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．