Question

10．求證：四邊形ABCD的兩條對角線之和小于它的周長而大于它的周長之半．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得出AB＜OA+OB、BC＜OB+OC、CD＜OC+OD、AD＜OA+OD，將四個不等式左右相加即可得出AC+BD＞$\frac{1}{2}$C_{四邊形ABCD}，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得出AC＜AB+BC、AC＜CD+DA、BD＜BC+CD、BD＜AB+DA，將四個不等式左右相加即可得出AC+BD＜C_{四邊形ABCD}，此題得證．

解答 證明：依照題意畫出圖形，如圖所示．
在△AOB中，AB＜OA+OB，
同理：BC＜OB+OC，CD＜OC+OD，AD＜OA+OD．
將四個不等式左右分別相加得：AB+BC+CD+DA＜2（OA+OB+OC+OD）=2（AC+BD），
∴AC+BD＞$\frac{1}{2}$（AB+BC+CD+DA）=$\frac{1}{2}$C_{四邊形ABCD}．
在△ABC中，AC＜AB+BC，
同理：AC＜CD+DA，BD＜BC+CD，BD＜AB+DA，
將四個不等式左右分別相加得：2（AC+BD）＜2（AB+BC+CD+DA），
∴AC+BD＜AB+BC+CD+DA=C_{四邊形ABCD}．
∴$\frac{1}{2}$C_{四邊形ABCD}＜AC+BD＜C_{四邊形ABCD}．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系找出不等式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，利用三角形的三邊關(guān)系找出不等式是關(guān)鍵．