【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°.BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)D,交△ABC的外接圓于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.請(qǐng)補(bǔ)全圖形后完成下面的問(wèn)題:
(1)求證:EF是△ABC外接圓的切線;
(2)若BC=5,sin∠ABC=,求EF的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)6
【解析】
(1)根據(jù)已知條件得到△ABC的外接圓圓心O是斜邊AB的中點(diǎn).連接OE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到∠1=∠3.求得OE∥BF.于是得到結(jié)論;
(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義得到.根據(jù)勾股定理得到AC=12.根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
(1)補(bǔ)全圖形如圖所示,
∵△ABC是直角三角形,
∴△ABC的外接圓圓心O是斜邊AB的中點(diǎn).
連接OE,
∴OE=OB.
∴∠2=∠3,
∵BE平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3.
∴OE∥BF.
∵EF⊥BF,
∴EF⊥OE,
∴EF是△ABC外接圓的切線;
(2)在Rt△ABC中,BC=5,sin∠ABC=,
∴.
∵AC2+BC2=AB2,
∴AC=12.
∵∠ACF=∠CFE=∠FEH=90°,
∴四邊形CFEH是矩形.
∴EF=HC,∠EHC=90°.
∴EF=HC=AC=6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小元步行從家去火車站,走到 6 分鐘時(shí),以同樣的速度回家取物品,然后從家乘出租車趕往火車站,結(jié)果比預(yù)計(jì)步行時(shí)間提前了3 分鐘.小元離家路程S(米)與時(shí)間t(分鐘)之間的函數(shù)圖象如圖,從家到火車站路程是( )
A.1300 米B.1400 米C.1600 米D.1500 米
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【題目】某市為了改善市區(qū)交通狀況,計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋,如圖,新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn),小張為了測(cè)量A、B之間的河寬,在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測(cè)得如下數(shù)據(jù):∠BDA=76.1°,∠BCA=68.2°,CD=82米.求:AB的長(zhǎng)(精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin76.1°≈0.97,cos76.1°≈0.24,tan76.1°≈4.0;sin68.2°≈0.93,cos68.2°≈0.37,tan68.2°≈2.5).
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn),,連接AE、BE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)F.若,則( 。
A.15.5B.16.5C.17.5D.18.5
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)M為BC上一點(diǎn),連接AM,且AB=AM,點(diǎn)E為BM中點(diǎn),AF⊥AB,連接EF,延長(zhǎng)FO交AB于點(diǎn)N.
(1)若BM=4,MC=3,AC=,求AM的長(zhǎng)度;
(2)若∠ACB=45°,求證:AN+AF=EF.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若點(diǎn)P和點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱,則稱點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于x軸,直線l的二次對(duì)稱點(diǎn).
(1)如圖1,點(diǎn)A(0,-1).
①若點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于x軸,直線:x=2的二次對(duì)稱點(diǎn),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ;
②點(diǎn)C (-4,1)是點(diǎn)A關(guān)于x軸,直線:x=a的二次對(duì)稱點(diǎn),則a的值為 ;
③點(diǎn)D(-1,0)是點(diǎn)A關(guān)于x軸,直線的二次對(duì)稱點(diǎn),則直線的表達(dá)式為 ;
(2)如圖2,O的半徑為2.若O上存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于x軸,直線:x = b的二次對(duì)稱點(diǎn),且點(diǎn)M′在射線(x≥0)上,b的取值范圍是 ;
(3)E(0,t)是y軸上的動(dòng)點(diǎn),E的半徑為2,若E上存在點(diǎn)N,使得點(diǎn)N′是點(diǎn)N關(guān)于x軸,直線:的二次對(duì)稱點(diǎn),且點(diǎn)N′在x軸上,求t的取值范圍.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C均在坐標(biāo)軸上,且OA=4,OC=3,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,沿AO向終點(diǎn)O移動(dòng);動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CB向終點(diǎn)B以同樣的速度移動(dòng),當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒(0<x<4)時(shí),過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC于點(diǎn)P,連接MP.
(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo),并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含x的式子表示);
(2)設(shè)△OMP的面積為S,求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式;當(dāng)x為何值時(shí),S有最大值?最大值是多少?
(3)在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,是否存在某一時(shí)刻,使△OMP是等腰三角形?若存在,求出x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,點(diǎn)B,C為⊙O上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC,交⊙O于點(diǎn)E,點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),且AC平分∠BAD,連接CE.
(1)求證:AD∥EC;
(2)連接EA,若BC=6,則當(dāng)CD= 時(shí),四邊形EBCA是矩形.
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【題目】如圖,有一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形雞舍,雞舍的一邊利用長(zhǎng)為a米的墻,另外三邊用25米長(zhǎng)的籬笆圍成,為方便進(jìn)出,在垂直于墻的一邊CD上留一個(gè)1米寬的門,
(1)若a=12,問(wèn)矩形的邊長(zhǎng)分別為多少時(shí),雞舍面積為80米2.
(2)問(wèn)a的值在什么范圍時(shí),(1)中的解有兩個(gè)?一個(gè)?無(wú)解?
(3)若住房墻的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng),問(wèn)雞舍面積能否達(dá)到90平方米?
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