Question

如圖，拋物線經(jīng)過A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點(diǎn)．

(1)求出拋物線的解析式；

(2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）存在！P為(2,1)或(5,-2)或(-3,-14) （3）D(2,1)

【解析】

試題分析：（1）∵該拋物線過點(diǎn)C(0,-2)，∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．

將A(4,0),B(1,0)，代入，得  解之

∴此拋物線的解析式為．

（2）存在！如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

當(dāng)1＜m＜4時(shí)，AM=4-m，．又∵∠COA=∠PMA=90°,

∴① 當(dāng)時(shí)，△PMA∽△COA，即  ．

解之 m₁="2," m₂=4（舍去），   ∴P(2,1)．

② 當(dāng)時(shí)，△APM∽△CAO，即 ．

解之 m₁="4," m₂=5（均不合題意，舍去）

∴當(dāng)1<m<4時(shí)，P(2,1)  類似地可求出, 當(dāng)m>4時(shí)，P(5,-2)

當(dāng)m<1時(shí)，P(-3,-14)

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為(2,1)或(5,-2)或(-3,-14)

（3）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(0<t<4)，則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

過D作y軸的平行線交AC于E．由題意，可求得直線AC的解析式為:，

E點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴ =

從而，S_△DAC==-t²+4t=-(t-2)²+4．∴當(dāng)t=2時(shí)，△DAC面積最大．∴D(2,1)

考點(diǎn)：拋物線

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的知識(shí)，要求考生根據(jù)拋物線的概念和性質(zhì)來解本題