Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，點(diǎn)P是斜邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是CP的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BD至E，使DE=BD，連接AE．
（1）求四邊形PCEA的面積；
（2）當(dāng)AP的長(zhǎng)為何值時(shí)，四邊形PCEA是平行四邊形；
（3）當(dāng)AP的長(zhǎng)為何值時(shí)，四邊形PCEA是直角梯形．

Answer 1

【答案】分析：（1）作CH⊥AB，垂足為H，即可證明四邊形PBCE是平行四邊形．根據(jù)四邊形PCEA的面積=（CE+AP）•CH=AB•CH即可求解．
（2）根據(jù)點(diǎn)D是CP的中點(diǎn)，DE=BD，即可證明△ECD≌△BPD，即可證明EC∥AP，因而當(dāng)AP=EC時(shí)，得?PCEA，即可求解；
（3）當(dāng)P、H重合是四邊形是直角梯形，據(jù)此即可求解．
解答：解：作CH⊥AB，垂足為H，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，
∴BC=2，
則CH=．
連接EP，因?yàn)镃D=DP，BD=DE，得?PBCE．則CE=PB，EP=CB=2．
（1），
四邊形PCEA的面積=（CE+AP）•CH=AB•CH=2；

（2）當(dāng)AP=2時(shí)，BP=EC=AP，則AP=EC，且AP∥EC，
得?PCEA，∵AP=2=PC=EC，且EC∥AP；

（3）當(dāng)AP=3時(shí)，P、H重合，EC∥AP，∠CPA=90°，
AP=3≠1=PB=EC，得直角梯形PCEA；
當(dāng)AP=1時(shí)，△APE是直角三角形，∠EAP=90°，
EC∥AP，AP=1≠3=PB=EC，得直角梯形PCEA．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的判定，以及直角梯形的判定，正確理解四邊形是直角梯形與平行四邊形的條件是解題的關(guān)鍵．