Question

如圖，BD為⊙O的直徑，A為的中點(diǎn)，A交BC于點(diǎn)E，過(guò)D作⊙O的切線，交BC的延長(zhǎng)線于F，
（1）求證：DF=EF；
（2）AE=2，DE=4，求DB長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）連接OA，
∵A為的中點(diǎn)，
∴OA⊥BC，
∴∠OAE+∠AEG=90°，
∵∠AEG=∠FED，
∴∠OAE+∠FED=90°，
∵DE為圓的切線，
∴DE⊥BD，即∠FDE+∠ADB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAE=∠ADB，
∴∠FED=∠FDE，
∴DF=EF；

（2）連接AB，
∵BD為圓的直徑，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵OA⊥BC，
∴∠OAD+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠OAD=∠ADO，
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴=，即AB²=AE•AD=2×（2+4）=12，
在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：BD²=AB²+AD²=12+36=48，
則BD=4．
分析：（1）連接OA，由A為弧BC的中點(diǎn)，利用垂徑定理的逆定理得到OA垂直于BC，得到一對(duì)角互余，再由對(duì)頂角相等等量代換得到兩個(gè)角相等，由DE為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到一對(duì)角互余，根據(jù)OA=OD，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到∠FED=∠FDE，等角對(duì)等邊即可得證；
（2）連接AB，利用同角的余角相等得到∠ABE=∠ADB，再由一對(duì)公共角，得到三角形ABE與三角形ADB相似，由相似得比例，求出AB的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出DB的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．