Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，其頂點(diǎn)為C，已知A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），D（0，3），
①求該拋物線的表達(dá)式；
②△AOD與△BCD是否相似？若相似請(qǐng)加以證明；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．
③拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，點(diǎn)P在第一象限且在對(duì)稱軸的右側(cè)，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形APCD的面積等于4？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：①把點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于b、c的方程組，通過(guò)解方程組即可求得它們的值；
②根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式分別求得BD=3，CD=，BC=2，OA=1，OD=3，AD=．由勾股定理的逆定理推知∠CDB=90°．所以只有△AOD∽△BDC，或△AOD∽△CDB．則利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例推知△AOD∽△CDB．
解答：解：①如圖，∵A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），D（0，3），
∴，
解得，
∴該拋物線的解析式是：y=-x²+2x+3；

②△AOD與△BCD相似．理由如下：假設(shè)△AOD與△BCD相似．
如圖，連接AD．
∵A（-1，0），D（0，3），
∴OA=1，OD=3，AD=．
∵由①知，拋物線的解析式是y=-x²+2x+3=-（x-3）（x+1）；
∴A（-1，0），B（3，0），對(duì)稱軸x=1．
當(dāng)x=1時(shí)，y=4，即C（1，4）．
∴BD=3，CD=，BC=2，
∴BC²=BD²+CD²，則∠CDB=90°．
又∵∠AOD=90°．
∴只有△AOD∽△BDC，或△AOD∽△CDB．
當(dāng)△AOD∽△BDC時(shí)，=，而==，==，
∴≠，這與=相矛盾，
∴△AOD與△BDC不相似；
當(dāng)△AOD∽△CDB時(shí)，=，而==，==，
∴=，
∴△AOD∽△CDB．
綜上所述，△AOD與△BCD相似．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等．解答②題時(shí)，也可以利用三角函數(shù)的定義來(lái)證明△AOD與△BCD相似；