Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，AM與BN是⊙0O兩條切線，F(xiàn)是⊙O上的一點，連接AF并延長交BN于E，過點O作OC∥AE交BN于點C，連接CF并延長交AM于D．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）探究線段OC、CF、EF間的關(guān)系，并證明．
（3）若⊙O的半徑為$\sqrt{6}$，AD=2．求EF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAF=∠OFA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BOC=∠OAF=∠AFO=∠FOC，推出△BOC≌△COF，于是得到∠OFC=∠OBC，得到∠OFC=∠OBC=90°，即可得到結(jié)論；
（2）連接BF，則∠AFB=∠ABE=90°，通過△ABE∽△BEF，得到BE²=AE•EF，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到OC=2AE，等量代換即可得到結(jié)論；
（3）連接OD，由AM與BN是⊙0O兩條切線，得到AM∥BN，求出∠DOC=90°，根據(jù)射影定理得到OF²=DF•CF，等量代換得到OF²=AD•CF，求得OF=$\sqrt{6}$，AD=2，根據(jù)勾股定理得到OD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{10}$，OC=$\sqrt{B{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{15}$，根據(jù)三角形的面積公式得到$\frac{1}{2}$AF•OD=AD•AO，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OF，
在⊙O中，
∵OF=OA，
∴∠OAF=∠OFA，
∵OC∥AE，
∴∠BOC=∠OAF=∠AFO=∠FOC，
在△BOC和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OF}\\{∠BOC=∠FOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△BOC≌△COF，
∴∠OFC=∠OBC，
∵BN是⊙O的切線，切點為B，
∴BA⊥BN，
∴∠OFC=∠OBC=90°，
∴OF⊥CD，
∵OF是⊙O的半徑，
∴DC是⊙O的切線；

（2）2CF²=EF•OC，
證明：連接BF，則∠AFB=∠ABE=90°，
∵∠BAF=∠EAB，
∴△ABE∽△BEF，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{AE}{BE}$，
∴BE²=AE•EF，
∵OC∥AE，AO=BO，
∴BC=CE，
∴OC=2AE，
∵BE=2CF，
∴（2CF）²=EF•2OC，
∴2CF²=EF•OC；

（3）解：連接OD，
∵AM與BN是⊙0O兩條切線，
∴AM∥BN，
∴∠ADF+∠BCF=180°，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠ODF=∠ADO，∠FCO=∠BCO，
∴∠ODF+∠OCF=90°，
∴∠DOC=90°，
∵OF⊥CD，
∴OF²=DF•CF，
∵AD=DF，
∴OF²=AD•CF，
∵OF=$\sqrt{6}$，AD=2，
∴CF=BC=CE=3，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{O}^{2}}$=$\sqrt{10}$，OC=$\sqrt{B{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴$\frac{1}{2}$AF•OD=AD•AO，
∴AF=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，AE=2$\sqrt{15}$，
∴EF=AE-AF=$\frac{6\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查了本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，本題關(guān)鍵是作出輔助線．