【題目】如圖,已知直線y=x+6與x軸,y軸相交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)C在線段OA上,將△BOC沿著BC折疊后,點(diǎn)O恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處,若點(diǎn)P為平面內(nèi)異于點(diǎn)C的一點(diǎn),且滿足△ABC與△ABP全等,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____.
【答案】(﹣,)或(﹣5,6)或(﹣,)
【解析】
先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),可求出AB的長(zhǎng),根據(jù)折疊性質(zhì)可得BD=OB,CD=OC,利用勾股定理可求出CD的長(zhǎng),即可得點(diǎn)C坐標(biāo),△PAB與△CAB全等有三種情況①延長(zhǎng)CD到P,使PD=CD,連接PA、PB,過(guò)D作DE⊥OA于E,可得AB為PC的垂直平分線,利用SSS可證明△ABP≌△ABC,利用面積法可求出DE的長(zhǎng),代入AB解析式可的點(diǎn)D坐標(biāo),根據(jù)D是PC中點(diǎn)即可求出點(diǎn)P坐標(biāo);②過(guò)點(diǎn)B作x軸平行線,過(guò)點(diǎn)A作BC平行線,相交于點(diǎn)P;可得P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6,根據(jù)B、C坐標(biāo)可得BC解析式,由AP//BC及A點(diǎn)坐標(biāo)可求出AP的解析式,把y=6代入即可得P點(diǎn)坐標(biāo);③作點(diǎn)(﹣5,6)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P';PP′交AB于E,作EF⊥PB,由CD和PE是AB邊上的高可得PE=CD,利用面積法可求出EF的長(zhǎng),即可求出E點(diǎn)縱坐標(biāo),代入AB解析式即可得E得坐標(biāo),根據(jù)E點(diǎn)為PP′中點(diǎn)即可求出P′坐標(biāo),綜上即可得答案.
∵直線y=x+6與x軸,y軸相交于點(diǎn)A,B,
∴當(dāng)x=0時(shí),y=6,當(dāng)y=0時(shí),x=-8,
∴A(﹣8,0),B(0,6),
∴AB==10,
∵O與D關(guān)于BC對(duì)稱,
∴OB=BD=6,CO=CD,
∴AD=10﹣6=4,AC=8﹣CD,
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,即(8-CD)2=42+CD2,
解得:CD=3,
∴OC=3,
∴C(﹣3,0),
①如圖,延長(zhǎng)CD到P,是PD=CD,連接PA、PB,過(guò)D作DE⊥OA于E,
∵∠BDC=∠BOC=90°,
∴AB是PC的垂直平分線,
∴PB=BC,PA=AC,
又∵AB=AB,
∴△ABP≌△ABC,
∵CD=3,AD=4,AC=5,∠ADC=90°,
∴S△ACD=AC·DE=CD·AD,即5DE=12,
解得:DE=,
當(dāng)y=時(shí),x+6=,
解得:x=,
∴D(,),
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n)
∵點(diǎn)D是PC的中點(diǎn),
∴,,
解得:m=,n=,
∴P(﹣,).
②過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線,過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線,相交于點(diǎn)P,
∴∠PAB=∠ABC,∠PBA=∠BAC,P點(diǎn)縱坐標(biāo)為6,
又∵AB=AB,
∴△ABP≌△ABC,
設(shè)BC解析式為y=kx+b,
∵C(-3,0),B(0,6),
∴,
解得:,
∴BC的直線解析式為y=2x+6,
∵PA//BC,
∴設(shè)AP的解析式為y=2x+b1,
∵A(-8,0)
∴2×(-8)+b1=0,
解得:b1=16,
∴AP的直線解析式為y=2x+16
∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6,
∴2x+16=6,
解得:x=-5,
∴P(﹣5,6).
③如圖,作點(diǎn)P(﹣5,6)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P',PP′交AB于E,作EF⊥PB,
∵點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于AB對(duì)稱,
∴△ABP≌△ABP′,PE=P′E,
∵△ABP≌△ABC,
∴△ABP′≌△ABC,
∵CD和PE是AB邊上的高,
∴PE=CD=3,
∴BE==4,
∴EF==,
∴點(diǎn)E縱坐標(biāo)為6-=,
∵點(diǎn)E在直線AB上,
∴x+6=,
解得:x=,
∴E(,)
設(shè)P′(m,n)
∵E為PP′的中點(diǎn),
∴,,
解得:m=﹣,n=,
∴P'(﹣,).
綜上所述,滿足條件的P點(diǎn)有(﹣,)或(﹣5,6)或(﹣,).
故答案為(﹣,)或(﹣5,6)或(﹣,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙是的外接圓,,,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),交于點(diǎn).
(1)求證:是⊙的切線;
(2)若,.求⊙的半徑和線段的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先閱讀下面的內(nèi)容,再解決問(wèn)題.
例題:若,求和的值.
解:∵
∴
即
∴,
∴,
問(wèn)題:(1)若,求的值;
(2)已知是的三邊長(zhǎng),滿足,且中最長(zhǎng)的邊的長(zhǎng)度為,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,∠BAC=30°,D為角平分線上一點(diǎn),DE⊥AC于E,DF∥AC,且交AB于點(diǎn)F.
(1)求證:△AFD為等腰三角形;
(2)若DF=10cm,求DE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,CD是∠ACB的角平分線,CE是AB邊上的高,
(1)若∠A=40°,∠B=60°,求∠DCE的度數(shù).
(2)若∠A=m,∠B=n,求∠DCE.(用m、n表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正方形網(wǎng)格中,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,點(diǎn)A的坐標(biāo)(4,4),請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1,并寫出點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo);
(2)將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的△A2B2C2,并求出點(diǎn)A到A2的路徑長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖①,在銳角△ABC中,BD和BE三等分∠ABC,CD和CE三等分∠ACB,請(qǐng)分別寫出∠A和∠D,∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系,并選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由;
(2)如圖②,在銳角△ABC中,BD和BE三等分∠ABC,CD和CE三等分外角∠ACM,請(qǐng)分別寫出∠A和∠D,∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系,并選擇其中一個(gè)說(shuō)明理由;
(3)如圖③,在銳角△ABC中,BD和BE三等分外角∠PBC,CD和CE三等分外角∠QCB,請(qǐng)分別直接寫出∠A和∠D,∠A和∠E的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E兩點(diǎn)分別在AB,AC上,且DE∥BC,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn) 當(dāng)a=0°時(shí),線段BD,CE的數(shù)量關(guān)系是______;
(2)拓展探究 當(dāng)0°≤a<360°時(shí),(1)中的結(jié)論有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明;
(3)問(wèn)題解決 設(shè)DE=,BC=3,0°≤α<360°,△ADE旋轉(zhuǎn)至A,B,E三點(diǎn)共線時(shí),直接寫出線段BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形QABC是矩形,ADEF是正方形,點(diǎn)A、D在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,點(diǎn)F在AB上,點(diǎn)B、E在反比例函數(shù)y=kx的圖象上,OA=1,OC=6,則正方形ADEF的邊長(zhǎng)為( 。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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