【題目】已知:在中,,.
(1)如圖1,將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié)、,的平分線交于點,連結(jié).
①求證:;②用等式表示線段、、之間的數(shù)量關系(直接寫出結(jié)果);
(2)在圖2中,若將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到,連結(jié)、,的平分線交的延長線于點,連結(jié).請補全圖形,并用等式表示線段、、之間的數(shù)量關系,并證明.
【答案】(1)①見解析;② 2CE+ AE=BD,(+ 2 )AE+EC=BD 或BD=(AE+CE ),答案不唯一;(2)見解析,2CE-AE=BD,答案不唯一,見解析.
【解析】
(1)①首先證明△ABE≌△ACE,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求得,然后由三角形外角的性質(zhì)可求出,問題得證;
②在ED上截取EH=AE,易得△AEH為等邊三角形,然后證明△AEB≌△AHD,通過線段間的等量代換即可得到2CE+ AE=BD;
(2)首先根據(jù)題意補全圖形,以A為頂點,AE為一邊作∠EAF=60°,AF交DB延長線于點F,證明△AEF是等邊三角形,△CAE≌△DAF(SAS)和△BAE≌△CAE(SAS),然后根據(jù)線段和差進行等量代換得到結(jié)果.
解:(1)①證明:∵,,平分,
∴,.
又∵ AE=AE,
∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴.
由旋轉(zhuǎn)可得△ACD是等邊三角形.
∴,.
∴,.
∴.
∴.
∵,.
∴.
∴.
.
②線段、、之間的數(shù)量關系是:2CE+ AE=BD.答案不唯一,如(+ 2 )AE+EC=BD或BD=(AE+CE )
如圖3,在ED上截取EH=AE,
∵,
∴△AEH為等邊三角形,
∴AE=AH,∠AEH=∠AHE=60°,
∴∠AEB=∠AHD=120°,
又∵,
∴△AEB≌△AHD,
∴BE=DH,
∵BD=BE+EH+DH,BE=CE,AE=EH,
∴BD=CE+AE+CE,
即2CE+ AE=BD.
(2)補全圖形如圖2,
線段、、之間的數(shù)量關系是:2CE -AE=BD.(答案不唯一)
證明:如圖2,以A為頂點,AE為一邊作∠EAF=60°,AF交DB延長線于點F.
∵,,平分,
∴.
由旋轉(zhuǎn)可得△ACD是等邊三角形.
∴,.
∴,.
∴.
∴.
∴.
又∵∠EAF=60°,
∴.
∴△AEF是等邊三角形.
∴AE=AF=EF.
在△CAE和△DAF中,
∵,,AE=AF,
∴△CAE≌△DAF(SAS).
∴CE=DF.
∵,,AE=AE,
∴△BAE≌△CAE(SAS).
∴BE=CE.
∵DF+BE-EF=BD,
∴2CE-AE=BD.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A,B是反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)圖象上的兩點,BC∥x軸,交y軸于點C,動點P從坐標原點O出發(fā),沿O→A→B→C(圖中“→”所示路線)勻速運動,終點為C,過P作PM⊥x軸,垂足為M.設三角形OMP的面積為S,P點運動時間為r,則S關于t的函數(shù)圖象大致為( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠B=90°,O是AB上的一點,以O為圓心,OB為半徑的圓與AB交于點E,交AC于點D,其中DE∥OC
(1)求證:AC為⊙O的切線;
(2)若AD=,且AB、AE的長是關于x的方程x2-4x+k=0的兩個實數(shù)根,求⊙O的半徑、CD的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形OABC中,OA=3,OC=2,點F是AB上的一個動點(F不與A,B重合),過點F的反比例函數(shù)y= 的圖象與BC邊交于點E.
(1)當F為AB的中點時,求該函數(shù)的解析式;
(2)當k為何值時,△EFA的面積最大,最大面積是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下面是小明設計的“作三角形的高線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:△ABC.
求作:BC邊上的高線.
作法:如圖,
①分別以A,B為圓心,大于長為半徑畫弧,兩弧交于點D,E;
②作直線DE,與AB交于點F,以點F為圓心,FA長為半徑畫圓,交CB的延長線于點G;
③連接AG.
所以線段AG就是所求作的BC邊上的高線.
根據(jù)小明設計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面證明.
證明:連接DA,DB,EA,EB,
∵DA=DB,
∴點D在線段AB的垂直平分線上( )(填推理的依據(jù)).
∵ = ,
∴點E在線段AB的垂直平分線上.
∴DE是線段AB的垂直平分線.
∴FA=FB.
∴AB是⊙F的直徑.
∴∠AGB=90°( )(填推理的依據(jù)).
∴AG⊥BC
即AG就是BC邊上的高線.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點A、B分別在反比例函數(shù)(x>0),(k<0,x>0)的圖象上.點B的橫坐標為4,且點B在直線y=x﹣5上.
(1)求k的值;(2)若OA⊥OB,求tan∠ABO的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長4的正方形ABCD中,E是邊BC的中點,將△CDE沿直線DE折疊后,點C落在點F處,冉將其打開、展平,得折痕DE。連接CF、BF、EF,延長BF交AD于點G。則下列結(jié)論:①BG= DE;②CF⊥BG;③sin∠DFG= ;④S△DFG=.其中正確的有( )
A. 1個
B. 2個
C. 3個
D. 4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線的頂點坐標為(2,0),且經(jīng)過點(4,1),如圖,直線y=x與拋物線交于A、B兩點,直線l為y=﹣1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使|PA﹣PB|取得最大值?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)已知F(x0,y0)為平面內(nèi)一定點,M(m,n)為拋物線上一動點,且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等,求定點F的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的對稱中心在坐標原點,AB∥x軸,AD,BC分別與x軸交于E,F,連接BE,DF,若正方形ABCD的頂點B,D在雙曲線y=上,實數(shù)a滿足a1﹣a=1,則四邊形DEBF的面積是( )
A. B. C. 1D. 2
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