Question

函數(shù)y=和y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點P是y=的圖象上一動點，PC⊥x軸于點C，交y=的圖象于點B．給出如下結(jié)論：①△ODB與△OCA的面積相等；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積大小不會發(fā)生變化；④CA=AP．其中所有正確結(jié)論的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：①由A、B都在y=的圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，可以直接得出結(jié)果；
②只有當(dāng)點P的坐標(biāo)為（2，2）時，PA與PB才相等；
③由四邊形PAOB的面積=矩形OCPD的面積-△ODB的面積-△OCA的面積．根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，可知△ODB、△OCA、矩形OCPD的面積都是常數(shù)，所以四邊形PAOB的面積大小不會發(fā)生變化；
④根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，可知△OPC面積等于2，△OCA的面積等于，又同底（OC作底）的兩個三角形的面積比等于它們的高的比，得出AC：PC=1：4，所以CA=AP．
解答：解：①因點A和B都在反比例函數(shù)y=的圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知，△ODB與△OCA的面積都等于，正確；
②由圖的直觀性可知，P點至上而下運動時，PB在逐漸增大，而PA在逐漸減小，錯誤；
③因△ODB與△OCA的面積都等于，它們面積之和始終等于1，而矩形OCPD面積始終等于4，所以四邊形PAOB的面積始終等于3，即大小不會發(fā)生變化，正確；
④連接OP，△OPC面積始終等于2，△OCA的面積都等于，因它們同底（OC作底），所以它們面積的比等于高AC與PC的比，即AC：PC=1：4，所以CA=AP，正確．
故正確結(jié)論的序號是①③④．
點評：本題主要考查反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義．過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標(biāo)作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積等于|k|；反比例函數(shù)圖象上的點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S=|k|．該知識點是中考的重要考點，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注．