【題目】如圖,ABCDEF是兩個全等的等腰直角三角形,BAC=EDF=90°,DEF的頂點E與ABC的斜邊BC的中點重合.將DEF繞點E旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q.

(1)如圖①,當(dāng)點Q在線段AC上,求證:BPE∽△CEQ;

(2)如圖①,當(dāng)點Q在線段AC上,當(dāng)AP=4,BP=8時,求P、Q兩點間的距離;

(3)如圖②,當(dāng)點Q在線段CA的延長線上,若BP=2a,CQ=9a,求PE:EQ的值,并直接寫出EPQ的面積 (用含a的代數(shù)式表示).

【答案】(1)見解析;(2)PQ=5;(3)a2

【解析】

試題分析:(1)由ABCDEF是兩個等腰直角三角形,A=D=90°,得到2=4,又由B=C=45°,即可證得:BPE∽△CEQ;

(2)連接PQ.根據(jù)BPE∽△CEQ,得到對應(yīng)邊成比例,計算得到CQ=9,AQ=3,由勾股定理可得PQ=5;

(3)根據(jù)BPE∽△CEQ,得到=,求出BE=CE=3a,計算即可求出PE:EQ的值,連接PQ,作PHBC于H,PGEF于G,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出QE、PG,根據(jù)三角形的面積公式計算即可.

(1)證明:連接PQ,

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴∠B=45°

∴∠1+2=135°,

∵△DEF是等腰直角三角形,

∴∠3=45°,

∴∠1+4=135°,

∴∠2=4,

∵∠B=C=45°,

∴△BPE∽△CEQ

(2)AP=4,BP=8,

AB=AC=12

BC=12,

由(1)知,BPE∽△CEQ,

=,

=,

CQ=9,

AQAC﹣CQ=3,又AP=4,

PQ=5;

(3)∵△BPE∽△CEQ,

=,即=

解得,BE=CE=3a,

PE:EQ=BP:CE=:3,

如圖②,連接PQ,作PHBC于H,PGEF于G,

∵∠B=45°,BP=2a,

PH=BH=a,又BE=3a,

HE=2a,

PE==a,

PG=GE=a,

PE:EQ=:3,

QE=3a,

∴△EPQ的面積=×QE×PG=a2

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