Question

如圖（1），在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB=90°，OA=6，AB=5，cos∠OAB=

3

5

．
（1）寫(xiě)出頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）如圖（2），點(diǎn)P為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（P與A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分別為M，N．設(shè)PM=x，四邊形OMPN的面積為y．
①求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
②是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形OMPN的面積恰好等于梯形OABC的面積的一半？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)，由圖可直接得出；求出BC、OC的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）①PM=x，由圖得，0＜x＜4，由cos∠OAB=

3

5

，得到MA=

3

4

x，由矩形的面積，可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②根據(jù)S_矩形OMPN=

1

2

S_梯形OABC可得到一點(diǎn)；

解答：解：（1）由圖得，A（6，0），B（3，4），C（0，4），
做BD⊥OA，所以，BD=OC，BC=OD；
由OA=6，AB=5，cos∠OAB=

3

5

得，
AD=3，BD=4，
即，BC=3，OC=4；
故坐標(biāo)為：A（6，0），B（3，4），C（0，4）；

（2）①∵設(shè)PM=x，由圖得，0＜x＜4，
則，AM=

3

4

x，
所以，y=（6-

3

4

x）x，
整理得，y=-

3

4

x2+6x；
故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：y=-

3

4

x2+6x（0＜x＜4）；
②由-

3

4

x2+6x=

1

2

×[（3+6）×4÷2]整理得，
x²-8x+12=0，
解得，x₁=2，x₂=6（舍去），
OM=6-2×

3

4

=

9

2

，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

9

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)、直角梯形和矩形的相關(guān)知識(shí)以及動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問(wèn)題，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出二次函數(shù)，注意最后取值必須使題目有意義；此題是一個(gè)大綜合題，難度較大．