Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程kx²+2x+2-k=0．
（1）若原方程有兩個實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)上述方程的兩個實數(shù)根分別為x₁、x₂，求：當k取哪些整數(shù)時，x₁、x₂均為整數(shù)；
（3）設(shè)上述方程的兩個實數(shù)根分別為x₁、x₂，若|x₁-x₂|=2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到k≠0且△=2²-4k（2-k）≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可；
（2）先由根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-

2

k

，根據(jù)整數(shù)的整除性得到k=±1，±2，再利用求根根式得到x₁=

k-3

2k

，x₂=

-k-1

2k

，然后判斷出當k取整數(shù)±1時，x₁、x₂均為整數(shù)；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=-

2

k

，x₁•x₂=

2-k

k

，再把|x₁-x₂|=2變形得到（x₁-x₂）²=4，（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4，然后利用整體代入的方法得到關(guān)于k的方程，再解方程即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得k≠0且△=2²-4k（2-k）≥0，
解得k≠0；
（2）∵x₁+x₂=-

2

k

，
而k為整數(shù)，x₁、x₂均為整數(shù)，
∴k=±1，±2，
∵△=（k-1）²，
x=

-2±(k-1)

2k

，
∴x₁=

k-3

2k

，x₂=

-k-1

2k

，
∴當k取整數(shù)±1時，x₁、x₂均為整數(shù)；
（3））根據(jù)題意得x₁+x₂=-

2

k

，x₁•x₂=

2-k

k

，
∵|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4，
∴（-

2

k

）²-4×

2-k

k

=4，
∴k=

1

2

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．