Question

20．幾何問(wèn)題中，當(dāng)圖形的位置改變時(shí)，與之相關(guān)的某些數(shù)量關(guān)系也會(huì)隨之發(fā)生變化，完成探究：
（1）若AB∥CD，同一平面內(nèi)另一點(diǎn)E在AB與CD之間時(shí)，如圖1，求證：∠B+∠D=∠E；
（2）若AB∥CD，同一平面內(nèi)另一點(diǎn)E在AB的上面時(shí)，如圖2，試探究∠B，∠D，∠E之間的關(guān)系式并證明你的結(jié)論；
（3）若AB∥CD，同一平面內(nèi)另一點(diǎn)E在CD的下面時(shí)，如圖3，直接寫出∠B，∠D，∠E之間的關(guān)系式；
（4）若AB∥CD，同一平面內(nèi)另一點(diǎn)E在AB與CD之間時(shí)，如圖4，直接寫出∠B、∠D、∠E之間的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，可得到EF∥CD，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系求出∠1=∠E+∠B，再根據(jù)AB∥CD即可解答；
（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系求出∠1=∠E+∠B，再根據(jù)AB∥CD即可解答；
（4）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥EF∥CD，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得∠B+∠BED+∠D=360°；

解答 （1）證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D；

（2）∠B+∠E=∠D；
證明：∵∠1是△EFB的外角，
∴∠1=∠ABE+∠BED，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠CDE，
∴∠CDE=∠ABE+∠BED；

（3）∠B=∠D+∠E，
理由：∵∠1是△EFD的外角，
∴∠1=∠E+∠D，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∴∠B=∠E+∠D；

（4）∠B+∠D+∠E=360°．理由如下：
過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B+∠BEF=180°，∠FED+∠D=180°，
∴∠B+∠BED+∠D=360°，
即∠B+∠D+∠E=360°；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，此類題目，難點(diǎn)在于過(guò)拐點(diǎn)作輔助線．