Question

探索下列問(wèn)題：
（1）在圖1給出的四個(gè)正方形中，各畫(huà)出一條直線（依次是：水平方向的直線、豎直方向的直線、與水平方向成45°角的直線和任意的直線），將每個(gè)正方形都分割成面積相等的兩部分；
（2）一條豎直方向的直線m以及任意的直線n，在由左向右平移的過(guò)程中，將正六邊形分成左右兩部分，其面積分別記為S₁和S₂．①請(qǐng)你在圖2中相應(yīng)圖形下方的橫線上分別填寫(xiě)S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系式（用“＜”，“=”，“＞”連接）；
②請(qǐng)你在圖3中分別畫(huà)出反映S₁與S₂三種大小關(guān)系的直線n，并在相應(yīng)圖形下方的橫線上分別填寫(xiě)S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系式（用“＜”，“=”，“＞”連接）．
（3）是否存在一條直線，將一個(gè)任意的平面圖形（如圖4）分割成面積相等的兩部分，請(qǐng)簡(jiǎn)略說(shuō)出理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得只要過(guò)正方形對(duì)角線交點(diǎn)的任意直線都可平分正方形的面積，按照所給的方向畫(huà)即可；
（2）由（1）得只有過(guò)中心的直線才平分六邊形的面積．那么可根據(jù)所給的直線進(jìn)行平移，以過(guò)六邊形的中心為界限；
（3）在分割所成的兩部分的面積不斷變化中，會(huì)出現(xiàn)面積相等的情況，所以存在．
解答：解：（1）
（2）①S₁＜S₂，S₁=S₂，S₁＞S₂（2分）
②S₁＜S₂，S₁=S₂，S₁＞S₂．（6分）

（3）存在．
對(duì)于任意一條直線l，在直線l從平面圖形的一側(cè)向另一側(cè)平移的過(guò)程中，
當(dāng)圖形被直線l分割后，
設(shè)直線l兩側(cè)圖形的面積分別為S₁，S₂．
兩側(cè)圖形的面積由S₁＜S₂（或S₁＞S₂）的情形，逐漸變?yōu)镾₁＞S₂（或S₁＜S₂）的情形，
在這個(gè)平移過(guò)程中，一定會(huì)存在S₁=S₂的時(shí)刻．
因此，一定存在一條直線，將一個(gè)任意平面圖形分割成面積相等的兩部分．（8分）
點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是先得到只要過(guò)正多邊形中心的直線就能把正多邊形的面積分為相等的兩部分，進(jìn)而得到存在把任意平面圖形分為面積相等的兩個(gè)圖形的情形．