Question

已知半徑為3cm的⊙A與半徑為1cm的⊙B外切于點(diǎn)E，直線CD與兩圓都相切，切點(diǎn)分別是C，D．
（1）求CD的長．
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相切兩圓的性質(zhì),扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接AC，BD，AB，過點(diǎn)B作BP⊥AC，由切線的性質(zhì)可得AC⊥CD，BD⊥CD，進(jìn)而可得矩形PCDB，然后由勾股定理可求PB的長即CD的長；
（2）要求陰影部分的面積，就要明確陰影部分的面積=梯形ABDC的面積-扇形ACP的面積-扇形BPD的面積，然后根據(jù)面積公式分別計算即可．

解答：解：（1）連接AC，BD，AB，過點(diǎn)B作BE⊥AC，

∵直線CD與兩圓都相切，切點(diǎn)分別是C，D，
∴AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四邊形PCDB是矩形，
∴CD=PB，PC=BD=1，
∴AP=AC-PC=3-1=2，
∵⊙A與⊙B外切于點(diǎn)E，
∴AB=EA+EB=4，
在Rt△PAB中，由勾股定理得：
PB²=AB²-AP²，
即PB=

16-4

=2

3

，
∴CD=PB=2

3

；
（2）在Rt△PAB中，
∵sin∠ABP=

PA

AB

=

2

4

=

1

2

，
∴∠ABP=30°，
∴∠A=60°，∠ABD=120°，
∵梯形ABDC的面積是：

1

2

×（1+3）×2

3

=4

3

cm²，
扇形ACE的面積是：

60π×9

360

=

3π

2

，
扇形BDE的面積是：

120π

360

=

π

3

，
則圖中陰影部分的面積=梯形ABDC的面積-扇形ACE的面積-扇形BED的面積=4

3

-

11π

6

（cm²）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)比較多．要掌握的是切線的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，扇形的面積公式以及直角三角形的性質(zhì)．