Question

（2009•上海一模）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數圖象經過A（1，-2）、B（3，-2）和C（0，1）三點，頂點為P；
（1）求這個二次函數的解析式，并寫出頂點P的坐標；
（2）連接PC、BC，求∠BCP的正切值；
（3）能否在第一象限內找到一點Q，使得以Q、C、A三點為頂點的三角形與以C、P、B三點為頂點的三角形相似？若能，請確定符合條件的點Q共有幾個，并請直接寫出它們的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A、B、C的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式；進而可用配方法求出其頂點坐標；
（2）根據B、C、P三點的坐標，即可求出BC、BP、PC的長，此時發(fā)現△BPC是直角三角形，且∠CBP=90°，由此可求出∠BCP的正切值；
（3）由于△BPC是直角三角形，若以Q、C、A三點為頂點的三角形與以C、P、B三點為頂點的三角形相似，那么△QCA也必須是直角三角形；因此需分三種情況進行討論；
①∠QCA=∠CBP=90°，此時△QCA∽△PBA或△QCA∽△CBP；
②∠CQA=90°，此時△CQA∽△PBC；
③∠QPC=90°，此時△QPC∽△CBP；（△QPC∽△PBC時，Q位于第四象限，此種情況不考慮）．
解答：解：（1）因為y=ax²+bx+c（a≠0）經過A（1，-2），B（3，-2），C（0，1）三點，
則：，
解得；
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+1=（x-2）²-3；
∴頂點P的坐標為（2，-3）；

（2）∵B（3，-2），C（0，1），P（2，-3）；
∴BP²=2，BC²=18，CP²=20，
即BP²+BC²=CP²；
故△BCP是直角三角形，且∠CBP=90°；
∴tan∠BCP==；

（3）此題分三種情況討論：如圖；
①∠QCA=90°，則△QCA∽△PBC或△QCA∽△CBP；
得CQ：CA=1：3或CQ：CA=3：1；
過Q作QE⊥y軸于E，則△QEC∽△CGA；
∵QC：CA=3：1，
∴QE=3CG=9，CE=3AG=3，即OE=4；
∴Q（9，4），
同理可求得Q′（1，）；
②∠CQA=90°，可過A作直線AF∥y軸，交x軸于F，過C作CQ⊥AF于Q，
此時AQ：CQ=BP：BC=1：3，
又因為∠CQA=∠CBP=90°，
則△CQA∽△PBC；
∴Q（1，1）；
③∠QAC=90°，由于Q在第一象限，此時只有一種情況：△QAC∽△CBP，
得：QA：AC=3：1，
即AQ=3AC=3；
易證得∠CAQ=∠AFH=∠QHM，
所以tan∠AHF=tan∠QHM=；
即FH=3AF=6，則AH=2，QH=AQ-AH=；
∵HM=3QM，則QM=1，HM=3；
∴Q（10，1）；
綜上可知：存在符合條件的Q點，且坐標為Q（9，4），（1，），（1，1）或（10，1）．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性質等；要特別注意（3）題在不確定相似三角形的對應邊和對應角的情況下要分類討論，以免漏解．