17.如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx-3(a≠0)與x軸交于點A(-2,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P從A點出發(fā),在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動,同時點Q從B點出發(fā),在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動,其中一個點到達終點時,另一個點也停止運動,當△PBQ存在時,求運動多少秒時,△PBQ的面積最大?最大面積是多少?
(3)在運動過程中,是否存在某一時刻t,使以P,B,Q為頂點的三角形為直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式,列出關于系數(shù)a、b的解析式,通過解方程組求得它們的值;
(2)設運動時間為t秒.利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數(shù)關系式S△PBQ=-$\frac{9}{10}$(t-1)2+$\frac{9}{10}$.利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行解答;
(3)根據(jù)余弦函數(shù),可得關于t的方程,根據(jù)解方程,可得答案.

解答 解:(1)把點A(-2,0)、B(4,0)分別代入y=ax2+bx-3(a≠0),得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b-3=0}\\{16a+4b-3=0}\end{array}\right.$,
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$,
所以該拋物線的解析式為:y=$\frac{3}{8}$x2-$\frac{3}{4}$x-3;

(2)設運動時間為t秒,則AP=3t,BQ=t.
∴PB=6-3t.
由題意得,點C的坐標為(0,-3).
在Rt△BOC中,BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5.
如圖1,過點Q作QH⊥AB于點H.
∴QH∥CO,
∴△BHQ∽△BOC,
∴$\frac{HQ}{OC}$=$\frac{BQ}{BC}$,即$\frac{HQ}{3}$=$\frac{t}{5}$,
∴HQ=$\frac{3}{5}$t.
∴S△PBQ=$\frac{1}{2}$PB•HQ=$\frac{1}{2}$(6-3t)•$\frac{3}{5}$t=-$\frac{9}{10}$t2+$\frac{9}{5}$t=-$\frac{9}{10}$(t-1)2+$\frac{9}{10}$.
當△PBQ存在時,0<t<2
∴當t=1時,
S△PBQ最大=$\frac{9}{10}$.
答:運動1秒使△PBQ的面積最大,最大面積是$\frac{9}{10}$;
(3)如圖2
在Rt△OBC中,cos∠B=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{4}{5}$.
設運動時間為t秒,則AP=3t,BQ=t.
∴PB=6-3t.
當∠PQB=90°時,cos∠B=$\frac{BQ}{PB}$=$\frac{4}{5}$,即$\frac{t}{6-3t}$=$\frac{4}{5}$,
化簡,得17t=24,解得t=$\frac{24}{17}$,
當∠BPQ=90°時,cos∠B=$\frac{6-3t}{t}$=$\frac{4}{5}$,
化簡,得19t=30,解得t=$\frac{30}{19}$,
綜上所述:t=$\frac{24}{17}$或t=$\frac{30}{19}$時,以P,B,Q為頂點的三角形為直角三角形.

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和三角形的面積求法.在求有關動點問題時要注意該點的運動范圍,即自變量的取值范圍.

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(2)在扇形統(tǒng)計圖中,音樂類選項所在的扇形的圓心角的大小為57.6°;
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