【題目】如圖,拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點,直線AC:y=-x-6交y軸與點C.點E是直線AB上的動點,過點E作EF⊥x軸交AC于點F,交拋物線于點G.
(1)求拋物線y=-x2+bx+c的表達式;
(2)連接GB、EO,當四邊形GEOB是平行四邊形時,求點G的坐標;
(3)①在y軸上存在一點H,連接EH、HF,當點E運動到什么位置時,以A、E、F、H為頂點的四邊形是矩形?求出此時點E、H的坐標;
②在①的前提下,以點E為圓心,EH長為半徑作圓,點M為⊙E上一動點,求AM+CM的最小值.
【答案】(1)y=-x2-2x+4;(2)G(-2,4);(3)①H(0,-1);②
【解析】分析:(1)利用待定系數法求出拋物線解析式;
(2)先利用待定系數法求出直線AB的解析式,進而利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解即可;
(3)①先判斷出要以點A,E,F,H為頂點的四邊形是矩形,只有EF為對角線,利用中點坐標公式建立方程即可;
②先取EG的中點P進而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM=AM,連接CP交圓E于M,再求出點P的坐標即可得出結論.
詳解:(1)(1)∵點A(-4,-4),B(0,4)在拋物線y=-x2+bx+c上,
∴,
∴,
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+4;
(2)設直線AB的表達式為y=kx+b
∵直線AB過點A(-4,-4),B(0,4),
∴,解得,
∴y=2x+4
設E(m,2m+4),則G(m,-m2-2m+4)
∵四邊形GEOB是平行四邊形,
∴GE=OB=4,
∴-m2-2m+4-2m-4=4,解得m=-2
∴G(-2,4)
(3)①設E(m,2m+4),則F(m,-m-6)
過A作AN⊥EG,過H作HQ⊥EG
四邊形AFHE是矩形,∴△PFN≌△HEQ,∴AN=QH,∴m+4=-m,解得m=-2,E(-2,0)
EQ=FN=-4+m+6=1
∴H(0,-1)
②由題意可得,E(-2,0),H(0,-1),∴EH=,即⊙E的半徑為,
∵M點在⊙E上,∴EM=
∵A(-4,-4),E(-2,0),∴AE=2
在AE上截取EP=EM,則EP=,連接PM,
在ΔEPM與ΔEMA中,∵====,∠PEM=∠MEA,∴ΔEPM∽ΔEMA∴PM=AM
∴線段PC的長即為AM+CM的最小值
由EP=EM=AE=×2=,AP=AE-PE= , AC=2 ∴PC=
即AM+CM的最小值為.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC, ∠ABC=90 ,點E在BD上,點F在射線CD上,AE=EF,∠AEF=90 .
(1)若∠ABE=∠AEB,AG⊥BD,垂足為G,求證:BG=GE.
(2)在(1)的條件下,猜想線段CD與DF的數量關系,并證明你的猜想.
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【題目】如圖,ABCD的周長為36,對角線AC、BD相交于點O,點E是CD的中點,BD=12,則△DOE的周長為( )
A. 15 B. 18 C. 21 D. 24
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【題目】如圖所示,直線、被所截:①命題“若,則“”的題設是“”,結論是“”;②“若,則”的依據是“兩直線平行,同位角相等”;③“若,則不平行”的依據是“兩直線平行,內錯角相等”;④“若,則”依據是“兩直線平行,同位角相等”;⑤“若,則”的依據是“兩直線平行,同旁內角互補”.上面說法正確的是(填序號)__________.
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【題目】閱讀以下材料并回答問題:
材料一:已知點 Px0 , y0 和直線 y kx b ,則點Px0 , y0 到直線 y kx b 的距離 d 可以用公式表示為 d . 例如:求點 P 2,1到直線 y x 1的距離.
解:因為直線 y x 1可以變形為 x y 1 0 ,其中 k 1, b 1,則點 P 2,1到直線y x 1的距離可以表示為 d =.
材料二:對于直線 y1 k1 x b1 與直線 y2 k2 x b2 ,若 y1 // y2 ,那么 k1 k2 且b1 b2 ,若 y1 y2 ,那么 k1 k2 1.
(1)點 P1,1到直線 y 2x 1的距離為 ;
(2)已知直線 y1 x 與直線y2 k2 x 1平行,且在平面內存在點到直線 y2 k2 x 1的距離是其到直線 y1 x 距離的兩倍,求點所在直線的解析式;
(3)已知直線與直線垂直,其交點為Q,在平面內存在點P(點P不在直線與直線上),過點P分別向直線與直作垂線,垂足分別為M、N,若MQNP是邊長為的正方形,求點P點坐標.
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【題目】某蔬菜經營戶,用元從菜農手里批發(fā)了長豆角和番茄共千克,長豆角和番茄當天的批發(fā)價和零售價如表:
(1)這天該經營戶批發(fā)了長豆角和番茄各多少千克?
(2)當天賣完這些番茄和長豆角能盈利多少元?
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【題目】如圖1,在銳角△ABC中,∠ABC=45°,高線AD、BE相交于點F.
(1)判斷BF與AC的數量關系并說明理由;
(2)如圖2,將△ACD沿線段AD對折,點C落在BD上的點M,AM與BE相交于點N,當DE∥AM時,判斷NE與AC的數量關系并說明理由.
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【題目】如圖所示,在不等邊中,,,AB的垂直平分線交BC邊于點E,AC的垂直平分線交BC邊于點N.
(1)若BC邊長為整數,則的周長為_________.
(2)①若,則的度數為_________.
②若,則的度數為_________.
③若,請直接寫出與之間的數量關系,并畫出相應的圖形.
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【題目】對垃圾進行分類投放,能有效提高對垃圾的處理和再利用,減少污染,保護環(huán)境.為了調查同學們對垃圾分類知識的了解程度,增強同學們的環(huán)保意識,普及垃圾分類及投放的相關知識,某校數學興趣小組的同學設計了“垃圾分類知識及投放情況”問卷,并在本校隨機抽取部分同學進行問卷測試,把測試成績分成“優(yōu)、良、中、差”四個等級,繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖:
根據以上統(tǒng)計信息,解答下列問題:
(1)求成績是“優(yōu)”的人數占抽取人數的百分比;
(2)求本次隨機抽取問卷測試的人數;
(3)請把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(4)若該校學生人數為3000人,請估計成績是“優(yōu)”和“良”的學生共有多少人?
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