Question

如圖，⊙是△ABC的外接圓，AC是直徑，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DO交⊙于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作射線(xiàn)DE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F點(diǎn)，連接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長(zhǎng)；（結(jié)果保留π）

（2）求證：OD=OE；

（3）求證：PF是⊙的切線(xiàn)。

 

Answer 1

（1）劣弧PC的長(zhǎng)為2π；

（2）證明見(jiàn)解析；

（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）由弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）證明△POE≌△ADO可得DO=EO；

（3）連接AP，PC，證出PC為EF的中垂線(xiàn)，再利用△CEP∽△CAP找出角的關(guān)系求解．

試題解析：（1）∵AC=12，

∴CO=6，

∴劣弧PC的長(zhǎng)為=2π；

（2）∵ OD⊥AB，PE⊥AC

∴ ∠ADO=∠PEO=90°

在△ADO和△PEO中，

∴ △ADO≌△PEO

∴ OD=OE

（3）連接PC，

由AC是直徑知BC⊥AB，又OD⊥AB，

∴ PD∥BF

∴ ∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE

由（2）知OD=OE，則∠ODE=∠OED，又∠OED=∠FEC

∴ ∠FEC=∠CFE

∴ EC=FC

由OP=OC知∠OPC=∠OCE

∴ ∠PCE =∠PCF

在△PCE和△PFC中，

∴ △PCE≌△PFC

∴ ∠PFC =∠PEC=90°

由∠PDB=∠B=90°可知∠ODF=90°即OP⊥PF

∴ PF是⊙O的切線(xiàn)

考點(diǎn)：1、切線(xiàn)的判定；2、弧長(zhǎng)的計(jì)算；3、三角形全等的判定與性質(zhì)．