Question

如圖，∠MON＝90°，AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．

（1）求∠P的度數(shù)；

（2）若∠MON＝80°，其余條件不變，求∠P的度數(shù)；

（3）經(jīng)過(guò)（1）、（2）的計(jì)算，猜想并證明∠MON與∠P的關(guān)系．

 

Answer 1

（1）45°（2）50°（3）∠MON+2∠P=180°

解析:（1）∵∠BAM=∠AOB+∠ABO      ∠ABN=∠AOB+∠BAO

∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=180°+ 90°=270°………  1分

∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN

∴∠BAP= ∠BAM，∠ABP= ∠ABN

∴∠BAP+∠ABP= （∠BAM+∠ABN）=135°

在△ABP中   ∠BAP+∠ABP+∠P=180°

∴∠P=180°- 135°=45°；         ……………………  2分

（2）∵∠BAM=∠AOB+∠ABO     ∠ABN=∠AOB+∠BAO

∴∠BAM+∠ABN=∠AOB+∠ABO+∠AOB+∠BAO=180°+ 80°=260°…  3分

∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN

∴∠BAP= ∠BAM，∠ABP= ∠ABN

∴∠BAP+∠ABP= （∠BAM+∠ABN）=130°

在△ABP中   ∠BAP+∠ABP+∠P=180°

∴∠P=180°- 130°= 50°；        …………………… 4分

（3）∠MON+2∠P=180°

∵∠BAM=∠MON+∠ABO   ∠ABN=∠MON+∠BAO

∴∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO =180°+∠MON     ……  5分

∵AP平分∠MAB，BP平分∠ABN

∴∠BAP= ∠BAM，∠ABP= ∠ABN

∴∠BAP+∠ABP= （∠BAM+∠ABN）= （180°+∠MON）

在△ABP中   ∠BAP+∠ABP+∠P=180°

 （180°+∠MON）+∠P=180°  ∴∠MON+2∠P=180°．

（1）利用外角性質(zhì)，求得∠BAM+∠ABN=270°；由AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．∴∠BAP+∠ABP= （∠BAM+∠ABN）=135°，由三角形內(nèi)角和定理，∴∠P=180°-135°=45°；

（2）與問(wèn)題（1）的思路相同；

（3）利用外角性質(zhì)，求得∠BAM+∠ABN=∠MON+∠ABO+∠MON+∠BAO=（∠MON+∠ABO+∠BAO）+∠MON=180°+∠MON；由AP平分∠MAB，BP平分∠ABN．求∠BAP+∠ABP，由三角形內(nèi)角和定理，∠BAP+∠ABP+∠P=180°從而求所求的度數(shù)