Question

如圖，已知⊙O的半徑OA⊥OB，C是OB上的一點(diǎn)，AC交⊙O于D，E為OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EC=ED．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）若△BCD∽△DCE，OC=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

解：（1）證明：連結(jié)OD，
∵OD=OA，EC=ED，
∴∠ODA=∠A，∠EDC=∠ECD
又∵∠ECD=∠OCA，
∴∠EDC=∠OCA
又∵OA⊥OB，
∴∠EOA=90°
∠A+∠OCA=∠EDC+∠ODA=∠EDO=90°
∴OD⊥ED
又∵OD為⊥⊙O的半徑，
∴ED是⊙O的切線．

（2）設(shè)OD=x
∵∠EOA=90°，
∴∠ADB=45°
又∵△BCD∽△DCE，
∴∠E=∠ADB=45°
在Rt△EDO中，OD²+ED²=OB²
又∵∠E=45°，ED=EC=OD=x，OC=1
∴x²+x²=（x+1）²
解這個(gè)一元二次方程x²-2x-1=0，得x=1+或x=1-（負(fù)值不適合，應(yīng)舍去），
所以，⊙O的半徑為1+．
分析：（1）△CED和△OAD都是等腰三角形，根據(jù)等邊對(duì)等角，可以證得=∠EDC+∠ODA=∠EDO=90°，從而證得ED是圓的切線；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證得△OED是等腰直角三角形，依據(jù)勾股定理即可求得半徑OD的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題是切線的判定與性質(zhì)以及勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確證明△OED是等腰直角三角形是關(guān)鍵．