Question

【題目】如圖， 為線段上一動點(diǎn)，分別過點(diǎn)、作， ，連接、，已知， ， ，設(shè)．

（1）用含的代數(shù)式表示的長；

（2）請問點(diǎn)在什么位置時， 的值最小，求出這個最小值；

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值．

Answer 1

【答案】（1）用含x的代數(shù)式表示的長

（2）當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時取最小值，最小值為10；

（3）代數(shù)式最小值為

【解析】試題分析：

試題分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；

（2）若點(diǎn)C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時，AC+CE的值最小；

（3）由（1）（2）的結(jié)果可作BD=12，過點(diǎn)B作AB⊥BD，過點(diǎn)D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，則AE的長即為代數(shù)式 +的最小值，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值．

試題解析：（1）由勾股定理知

∴

（2）當(dāng)、、三點(diǎn)共線時取最小值，如下圖

∴在和中

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∴

（3）根據(jù)（2）中規(guī)律可以構(gòu)造出如圖所示

由（2）中方法可得：

∴

∴

∴

∴

∴代數(shù)式最小值為