Question

【題目】如圖，已知半圓⊙O的直徑AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E為弧CD的中點，點P在弦CD上，聯(lián)結PE，過點E作PE的垂線交弦CD于點G，交射線OB于點F．

（1）當點F與點B重合時，求CP的長；

（2）設CP＝x，OF＝y，求y與x的函數關系式及定義域；

（3）如果GP＝GF，求△EPF的面積．

Answer 1

【答案】（1）CP＝2；（2）；（3）

【解析】

（1）如圖1，連接EO，交弦CD于點H，根據垂徑定理得EO⊥AB，由勾股定理計算，可得EH的長，證明∠HPE＝∠HGE＝45°，則PE＝GE．從而可得結論；

（2）如圖2，連接OE，證明△PEH∽△EFO，列比例式可得結論；

（3）如圖3，作PQ⊥AB，分別計算PE和EF的長，利用三角形面積公式可得結論．

（1）連接EO，交弦CD于點H，

∵E為弧CD的中點，

∴EO⊥AB，

∵CD∥AB，

∴OH⊥CD，

∴CH＝，

連接CO，

∵AB＝10，CD＝8，

∴CO＝5，CH＝4，

∴，

∴EH＝EO﹣OH＝2，

∵點F與點B重合，

∴∠OBE＝∠HGE＝45°，

∵PE⊥BE，

∴∠HPE＝∠HGE＝45°，

∴PE＝GE，

∴PH＝HG＝2，

∴CP＝CH﹣PH＝4﹣2＝2；

（2）如圖2，連接OE，交CD于H，

∵∠PEH+∠OEF＝90°，∠OFE+∠OEF＝90°，

∴∠PEH＝∠OFE，

∵∠PHE＝∠EOF＝90°，

∴△PEH∽△EFO，

∴，

∵EH＝2，FO＝y，PH＝4﹣x，EO＝5，

∴，

∴．

（3）如圖3，過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，

∵GP＝GF，

∴∠GPF＝∠GFP，

∵CD∥AB，

∴∠GPF＝∠PFQ，

∵PE⊥EF，

∴PQ＝PE，

由（2）可知，△PEH∽△EFO，

∴，

∵PQ＝OH＝3，

∴PE＝3，

∵EH＝2，

∴，

∴，

∴，

∴．