Question

10．如圖，一次函數(shù)y=x+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象交于點(diǎn)A（-1，4）和點(diǎn)B（a，1）．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和a、b的值；
（2）若A、O兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，請(qǐng)連接AO，并求出直線l與線段AO的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出k值，從而得出反比例函數(shù)解析式；再將點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)y=x+b中得出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；
（2）連接AO，設(shè)線段AO與直線l相交于點(diǎn)M．由A、O兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，可得出點(diǎn)M為線段AO的中點(diǎn)，再結(jié)合點(diǎn)A、O的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-1，4）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象上，
∴k=-1×4=-4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{4}{x}$．
把點(diǎn)A（-1，4）、B（a，1）分別代入y=x+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4=-1+b}\\{1=a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=5}\end{array}\right.$．
（2）連接AO，設(shè)線段AO與直線l相交于點(diǎn)M，如圖所示．

∵A、O兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，
∴點(diǎn)M為線段OA的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)A（-1，4）、O（0，0），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，2）．
∴直線l與線段AO的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解二元一次方程組以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求函數(shù)系數(shù)；（2）得出點(diǎn)M為線段AO的中點(diǎn)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，巧妙的利用了中點(diǎn)坐標(biāo)公式降低了難度．