Question

【題目】如圖，AB、CD是⊙O的直徑，BE是⊙O的弦，且BE∥CD，過點C的切線與EB的延長線交于點P，連接BC．
（1）求證：BC平分∠ABP；
（2）求證：PC2=PBPE；
（3）若BE﹣BP=PC=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BE∥CD，

∴∠1=∠3，

又∵OB=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，即BC平分∠ABP；

（2）證明如圖，連接EC、AC，

∵PC是⊙O的切線，

∴∠PCD=90°，

又∵BE∥DC，

∴∠P=90°，

∴∠1+∠4=90°，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠A+∠2=90°，

又∠A=∠5，

∴∠5+∠2=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠5=∠4，

∵∠P=∠P，

∴△PBC∽△PCE，

∴ = ，即PC2=PBPE；

（3）解：∵BE﹣BP=PC=4，

∴BE=4+BP，

∵PC2=PBPE=PB（PB+BE），

∴42=PB（PB+4+PB），即PB2+2PB﹣8=0，

解得：PB=2，

則BE=4+PB=6，

∴PE=PB+BE=8，

作EF⊥CD于點F，

∵∠P=∠PCF=90°，

∴四邊形PCFE為矩形，

∴PC=FE=4，F(xiàn)C=PE=8，∠EFD=∠P=90°，

∵BE∥CD，

∴ = ，

∴DE=BC，

在Rt△DEF和Rt△BCP中，

∵ ，

∴Rt△DEF≌Rt△BCP（HL），

∴DF=BP=2，

則CD=DF+CF=10，

∴⊙O的半徑為5．

【解析】（1）由BE∥CD知∠1=∠3，根據(jù)∠2=∠3即可得∠1=∠2；（2）連接EC、AC，由PC是⊙O的切線且BE∥DC，得∠1+∠4=90°，由∠A+∠2=90°且∠A=∠5知∠5+∠2=90°，根據(jù)∠1=∠2得∠4=∠5，從而證得△PBC∽△PCE即可；（3）由PC2=PBPE、BE﹣BP=PC=4求得BP=2、BE=6，作EF⊥CD可得PC=FE=4、FC=PE=8，再Rt△DEF≌Rt△BCP得DF=BP=2，據(jù)此得出CD的長即可．
【考點精析】利用切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．